96

— Einige Vorkenntnisse aus der Arithmetik. —

36

hauptung, es habe sich schon Coppernicus zuweilen zweiter Differenzen bedient,auf Irrtum zu beruhen; wenigstens enthält die als Belege angerufene, mit3» (also wohl: Minuta tertia) ttherschriebene Kolumne von dessen (hei Prowe II228—29 abgedruckter) „Tabula equacionum Solis“ keine zweiten Differenzen,sondern irgend eine andere Zahlenreihe, deren Bedeutung mir allerdings nichtklar geworden ist. Dagegen geht aus der „Arithmetica “ von Bürg! und ausder „Arithmetica logarithmica“ von Briggs sattsam hervor, dass sie sich überjene Notwendigkeit klar waren, und zwar gingen beide von der Ansicht aus,dass man die Interpolation auch noch in diesem Falle gewissermassen „ex ovo“,d. h. an der Stelle vorzunehmen habe, wo die Differenzen konstant werden,und von da nach bestimmten Regeln successive zu den frühem Differenzreihenund den gesuchten Zahlen aufsteigen müsse; dagegen ist mir nicht gelungen,aus dem vom erstem hinterlassenen Fragmente die ihm vorschwehenden Regelnsicher herauszufinden, während mir dagegen ganz klar geworden ist, dass dievon letzterm gegebenen Vorschriften unserer 14 ganz konform sind, so dassich bis auf weiteres für Briggs die Ehre in Anspruch nehmen muss, zuersteine richtige Interpolationsmethode gelehrt zu haben: Fassen wir den be-sonders häufig vorkommenden Fall ins Auge, wo die Berücksichtigung derzweiten Differenzen genügt, so erhalten wir nach 14, successive m = 1, m,m — 1 und m — 2 setzend,

ai< a 0

Aa 0

n

A 2 Jlq

n 2

a„,' a m <—i'

-i' — a,„'_

i A a a 0-2'+ h a

16

Setzt man z. B. n = 10, so ergiebt sich hiernach als Ausgangspunkt für dieersten Differenzen 0,1 • Aa 0 — 0,045 • A ä a„, und jede folgende Differenz wirdans der vorhergehenden durch Zuschlag von 0,01 ■ A ä a 0 erhalten; dies stimmtaber ganz genau mit dem von Briggs gelehrten Verfahren überein, und inähnlicher Weise lassen sich nach 14 auch die Regeln gewinnen, welche erfür Berücksichtigung der dritten und höhern Differenzen giebt. Seine Methodewurde später durch Gabriel Mouton (Lyon 1018 — ebenda 1694; Dr. tlieol. undPräbendar in Lyon ), angeblich auf Anweisung seines Freundes „FranciscusRegnaud Lugdunensis“ in seinen „Observationes diametrorum Solis et Lun*apparentium. Lugduni (Lyon) 1G70 in 4.“ reproduziert, noch von Lalande undseiner Zeit vorzugsweise gebraucht, ferner von Delambre in seiner sog. Ge-schichte (V 360—420) mit der ihm eigenen Kunst so breit getreten, dass manMühe hat, des Pudels Kern herauszufinden, dagegen begreifen lernt, wie dieserAntor 6 starke Quartbände füllen konnte, ohne dem gewählten Titel auch nurvon ferne zu genügen. — Nachdem Newton den binomischen Lehrsatz gefundenhatte, war es für ihn, wie unsere obige Ableitung zeigt, kein grosses Kunst-stück mehr, die von Briggs gegebenen Regeln durch eine allgemeine Inter-polationsformel, wie unsere 1, zu ersetzen, so dass es sich kaum lohnen würde,dieselbe nach ihm zu benennen, wenn dadurch nicht zugleich eine wesentlichandere Methode begründet worden wäre, indem sie das Bilden neuer Differenz-reihen unnötig macht und erlaubt, direkt zu operieren: Es wird so bereitsdie Interpolation relativ leicht gemacht, — sei es direkt nach 1 unter Be-nutzung einer Tafel der Binomialkoefficienten, wie unsere Tab. II, — sei es,indem man 1 in 13 überführt und wie in b verfährt. Immerhin wurde baldnoch ein weiterer Fortschritt erzielt, der es teils möglich macht, von derMitte aus zu interpolieren, was, namentlich bei astronomischen Tafeln mitraschem Verlaufe, entschieden vorzüglicher ist, — teils auch sonst mancheVorteile bietet. Derselbe wurde, unter geschickter Benutzung der von Newton