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zweier anderer in derselben liegenden Punkte A und Bbetrachten, deren Coefficienten in dem, durch die ge-genseitige Lage der- Punkte gegebenen, VerhältnisseBC: CA , und keinem andern stehen.

Allerdings kann jeder gegebene Punkt P einer Ge-raden als Schwerpunkt auch von drei oder, mehrerenPunkten derselben, A,B,C ,., angesehen werden. Alsdannfinden aber zwischen den Coefficienten der Punkte nichtinehr bestimmte Verhältnisse statt. Denn sey P aufA und B bezogen, ^ aA + bB , und auf B und C bezo-gen , -= bB-\-cC , so ist auch P = aA -\-bB- ! r m(bB-]-cC)== aA-{-(i -j->n)bBmcC , wo für m jede beliebige Zahlgenommen werden kann. — Aehnliche Bemerkungensind in den folgenden §. 24. b. und §. 26. b. zu wie-derholen.

c. Aus (lA -j- bB ■—- (ß -f- b j (J folgt aA-\-bB — (jx -{- b'j C= 0, und wenn wir —( a- 5 r b) = c setzen, aA-\-bB-\-cC= 0, bB-{-cC=A, und hieraus eben so wie vorhin, b-.c— CA ; AB, Unser Satz lässt sich daher noch symme-trischer so ausdrücken;

Ist ciA-^bB -^-cC— o, so liegen A, B, C in geraderLinie, und es verhalten sich a : b ■. c = BC ; CA ; AB,Auch gilt dieser Satz umgekehrt.

§. 23 . Lehrsatz. Wenn aA-\-bB-\- cQ^B, undA, B, C nicht in einer Geraden enthalten sind, so liegtJD mit A, B, C in einer Ebene (§• 4 - und 5 .), und esverhalten sich;

a : b : c = die Dreiecke BBC-VGA- BAB,

Beweis. Von den drei Snmmen, welche sich, jezwei der drei Coefficienten a, b, c zusammengenommen,bilden lassen, ist immer wenigstens eine nicht —o.Sey a-\-b diese Summe, und man setze I. ctA-\-bB= (a„j-ü>) Z, so wird II. B = (a J rb) Z-'rcC.