84

Linie und den Coefficienten im Ausdrucke des Punk-tes hervorgellt. Ehen so ergleht sich für jeden neuenPunkt, durch den die Linie geliert soll, eine neue Re-lation dieser Art. Da nun im allgemeinen Ausdruckeeiner Linie der nten Ordnung die Anzahl der Constan-ten immer auf 3 n —i gebracht werden kann, zur Be-stimmung von 3 n —i Grössen aber eben so viel Glei-chungen zwischen diesen Grössen erforderlich sind, sofolgt, dass durch 3 n —i willkührlich genommene Punkteim Allgemeinen imftier eine und nicht mehr als eineLinie der nten Ordnung beschrieben werden kann.

Eine Linie der isten Ordnung ist demnach durch2 Punkte, der 2 ten durch 5, der 3ten durch 8 , der4 ten durch n , u. s. w. vollkommen bestimmt.

Nur also hei der ersten und zweiten Ordnung stimmtin dieser Hinsicht die neue Eintheilung der Linien inOrdnungen mit der bisher bekannten Eintheilung über-ein. Denn hei letzterer ist eine Linie der 3ten Ord-nung erst durch g Punkte, eine Linie der 4 tenOrdnungerst durch 1 4 Punkte, und überhaupt eine Linie dernten Ordnung durch 3) Punkte bestimmt, also

durch -|n(n+3) — ( 3 n—i) = -J(w— i) (re— 2 ) Punktemehr, als hei der neuen Eintheilung, ein Unterschied,der nnr für n — 1 und re = 2 verschwindet. Der Grunddieses Unterschieds liegt darin, dass, wie wir in derFolge sehen werden, zwar jedem Ausdrucke von derdritten oder einer höhern Ordnung eine Gleichung vonder ebensovielten Ordnung entspricht, aber nicht umge-kehrt jede Gleichung von einer höhern Ordnung, als derzweiten, in einen Ausdruck mit rationalen Coefficientenumgewandelt werden kann.

§. 71 . Die Art und Weise, nach welcher wir(§. 6 i.)jden allgemeinen Ausdruck für eine Linie der zweiten!»