166

2.pA-\-b(\ — p 2 )B - 1- [(1 — p) 2 — b(i — p 2 )] C,wo, wie gehörig (§.63.3.), die Coefficienten von Bund C einen gemeinschaftlichen Factor, 1 — p, haben.Setzt man noch b= 1 , d. i. =CB, so geht die Ellipseauch durch B , und der Ausdruck wird:

upA-\-(i — p 2 )B — 2p(i — p) C,in welchem auch die Coefficienten von B und C einenFactor, p, gemein haben. Es ist dies also der Ausdruckeiner Ellipse, von welcher die F.seiten CA und CB ihrerLage und Grösse nach zwei zusammengehörige Halbmes-ser sind.

§. i3i. Aufgabe. Aus dem Ausdrucke für eineCurve im Raume die beiden Gleichungen der Curve, undumgekehrt aus den Gleichungen derselben den Ausdruckzu linden.

Auflösung. Der Ausdruck für die Curve sey:pA -f- qB -f- r C-\- sD ,

wo demnach p, q, r, s gegebene Functionen einer Verän-derlichen p sind. Durch Elimination dieses p, aus dendrei Gleichungen :

(/i+^+r+s) -V =p, (/J+ 5 f+r+s) y — q, (jo+<?+r+*) z = r,

erhält man zwei Gleichungen zwischen den den F.linienDA, DB, DC parallelen Coordinaten x,y, z, welche Glei-chungen die gesuchten für die Curve scyn werden.

Sind umgekehrt die zwei Gleichungen zwischen x,y, z,gegeben, so suche man drei, wo möglich rationale, Functio-nen einer Veränderlichen p zu erhalten, die, resp. fürx, y, z in die Gleichungen gesetzt, ihnen Genüge leisten.Die Substitution dieser Functionen in

III*. xA~\-yB-\-zC (i—.r— y — z^Dgieht den gesuchten Ausdruck. (§. i 2 ä. b.)