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Der Beweis für den dritten Fall wird, wenn diePunkte D,E,... und D\E / ,.., auf gleichnamigen Seitender Dreiecksebonen ABG und A'B'C* liegen, älmlicher-weise mittelst des Satzes geführt, dass zwei Pyramiden'A.BCD und A'B+C'D' in einander passen, wenn die sechsKanten der einen den sechs Kanten der andern der Rei-he nach gleich sind, und D' auf derselben Seite von A l B*C?sich befindet, auf welcher JO von ABC liegt *). —■ Beiungleichartiger Lage macht der Beweis mehrere Vorbe-reitungen nöthig, auf die ich mich aber hier nichteinlassen kann, sondern auf Legendre Geometrie,Livre VI. Prop. 2 . und Note VII. verweise.

h. Wenn nicht, wie in der Aufgabe vorausgesetztwurde, das ganze System von n Punkten gegeben ist,sondern bloss die »—l oder 2 n —3 oder 3« — 6 Ab-stande in demselben, die zur Construction eines ihmgleichen und ähnlichen Systems erforderlich waren, so

*) Dieser Satz lässt sich folgendergestalt leicht dartkun. *— WeilA t B i "AB i C i A i ~CA, so können die Dreiecke

ABC und A'JB'C* immer zur Deckung gebracht weiden. Der ge-machten Annahme zufolge liegen alsdann D und D‘ auf einerleiSeite von ABC. Fielen nun D uud D* nicht zusammen, so ent-stünden, wegen AD=zA , D l , etc.,’ die gleichschenklichen DreieckeADD 1 , BDD l j CDD* mit der gemeinschaftlichen Basis DD*. Ileissedaher M der Mittelpunkt von DD*, so wären AM, ßM, CM aufDD 1 perpendikulär, mithin A,B , C,M in einer Ebene befindlich,von welcher DD* rechtwinklich Iialhirt würde. Mithin lägen Duud D* auf verschiedenen Seilen von ABC, welches gegen die An-nahme ist. Es fallen daher D und D 1 zusammen, folglich auchAD und A'D.*, etc. uud die ganzen Pyramiden passen in einander.

Liegen D und D* auf ungleichnamigen Seiten von ABC undA , B t C* > so folgt nach denselben Scldiissen, dass bei Deckung derDreiecke ABC und A'B t C* die Gerade DD* von der Ebene ABCrechlwiuklich haibirt wird. —- Dies hier zur Folge erhaltene Besul-iat ist bei Legendre (Livre VI. Definit. 16.) die Erklärung vondergleichen Körpern, polyedrex symme'lrig-ues von ihm genannt.