Ueber die Theorie der Zahlenfacultäten.

347

a'\ r „ f

« m|r = - -r— (fl -f- i' r ) m { 1 + « ■

(a + mr) V J l «

a H-r == ^ . r+^ r (a+ ^-),» (l_ a(o + r)*!' v 1 1 l <

9.

Die im 6. Art. gegebene Bedingung der Statthaf-tigkeit der Reihenentwickelungen gibt die Grenzen, überwelche (14) und (16) nicht ausgedehnt werden dürfen.So oft in (5) und (7) im Zähler oder Nenner ein Fac-tor = 0 wird, wird der Logarithme der Facultüt unend-lich gross; so oft der Factor 0 nur im Nenner vorkommt,wird die Facultät selbst unendlich gross. Nimmt mandieses mit dem Umstande zusammen, dass die Entwickel-ungen richtig sind für r = 0, und dass r allenthalben nurals positiv vorausgesetzt ist: so fliessen daraus folgendeBedingungen, unter welchen die Entwickelungen in nachPotenzen von fortgehende Reihen nur stattfinden:

1. l(«”‘l') ; a positiv und a > — mr

2. l(fl’ n l — ’’); «positiv und a>(m —1 )r

3. a m l r ; a positiv und a > — mr

4. a m l~ r ; a positiv.

Diese Bedingungen ergeben sich leicht aus (5) und {!).Wäre z. B. im ersten Falle a negativ und a < — mr,folglich a -|- mr < 0 oder negativ, so würde irgendwozwischen 0 und dem angenommenen Werthe der Diffe-renz ein r existiren, welches die Factorena -{- kr oder a -f- mr -f- kr, ■wo k eine ganze positive Zahl bedeutet, verschwindenlassen würde; dieses darf aber nicht sein, wenn dieReihe stattfinden soll.

Wollte man die Ausdrücke (6) und (8) in Reihenentwickeln, sowie die im vorigen Art. vorkommenden

nach Potenzen von — fortgehend, so würden diese Reihen

nur richtig sein, oder den Ausdrücken wirklich ent-sprechen können für

a m l r , wenn a negativ

a m wenn a negativ und a < mr.

Es lassen sich die Reihenentwickelungen der ver-schiedenen Ausdrücke des 3. Art. nun unter eine nichtuninteressante Uebersicht bringen. Man hat nämlich aus

^5) • .«" |r = «" (1 + ß "(f) S+ etc -j

(7). . a m l~ r =

~+ «' + etc.

+ t r 1 \a + ir/ 1

I • + «'(-T- -V — etc.

+ i r 1 \a + i r/

i

.■-«v+«tv)-«"(v)'+*.

positiv

negativ

(6) . . «'"!'■ = a”‘ 11 + o: ^ “"(-j) + etc -|

(8) . . a’ n '- r = a m |l — « ^ «" + etc. j

Damit aber diese Reihen wirklich den Ausdrücken desdritten Artikels entsprechen, ist es, wie gezeigt wor-den, nothwendig, dass bei der

ersten a und a -f- wr]zweiten a J

dritten a * 1

vierten a und a — mr Jsind; ist dieses nicht der Fall, so ist die Uebereinstimm-ung mit den erwähnten Ausdrücken nicht mehr noth-wendig. Die Entwickelungen selbst zeigen nun, wasaus den Reihen wird, wenn die ihnen zum Grunde lie-genden Bedingungen überschritten werden: nimmt man

i» «Ho» « ( 5 $W ). 0 » di, (“"«”/;“£) ...f

{(6) und (7)} zu en tspi'eclien und verwandeln sich da-gegen in die aus { ( ( g)} folgenden.

10 .

Diese Bemerkungen enthalten den Grund der von

Khami> § 40 u. s. w. gefundenen Widersprüche.Gleichung

<+•>*

Die

tga; jr

(— x)

■il-

und indem (G) von (7) und (8) von (5) nur dadurchverschieden sind, dass r verschiedene Zeichen hat,folgt aus

selbst ist dem bekannten Ausdrucke der Tangente durchihre Factoren conform; denn sie wurde aus diesem durchOperationen hergeleitet, die dieselben sind, aus welchensich die Bedeutung der Facultäten erklärte; sie lässtsich daher nach (5) und (7) wieder in dieselben Fac-toren zerlegen. Auch die Reihenentwickelungen desZählers und Nenners sind an sich richtig; jedoch ge-hört die zweite, indem hier die Basis x negativ ist,nicht zum Ausdrucke (7), sondern zu (8), welches, wieaus dem 3. Art. erhellet, keineswegs der ist, den man

sich unter (— a:)^ -1 denken soll. Es ist unmöglich,diese Facultät in eine nach Potenzen von i geordnete

Reihe zu entwickeln, die wirklich (7) entspräche.

Die anscheinende Sonderbarkeit, die darin liegt,dass § 144 und 150 die vorhin auf Widersprüche füh-renden Entwickelungen nun richtig werden, lallt weg,

44*