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V. Mathematik.
indem die Ursache der Unrichtigkeit, die negative Ba-sis, hier verschwunden ist.
Eine ganz ähnliche Ursache haben die Wider-sprüche, die sich § 197 u. s. w. hei der Untersuchungder r darboten. Auch hier ist die Summation der Reihe,aus welcher die JH als entstanden angesehen werdenkönnen,
Ix + 1 (x + 1) + 1 (* + 2) +. • ■ • + 1 {pc + i) =
= (x + * + 1 (x + i) — (x — \) lx
i+r ' .
-r—
X
über die Grenzen ihrer Rechtmässigkeit ausgedehnt.Definirt man nämlich JT— mit Kramp durch die Reihe
l . 2 ' jk
El i* i B6
3.4 a: 3
1
6.6 x b
etc.
so ist die Summation, nach Art. G, nur solange rich-tig, so lange x positiv ist; — wollte man sie weiterausdehnen, so müsste man die Definition
r = (x -f- n -(- 4) 1 (x -f- w) — (x — i) — w — Ix
— 1 (x -(- 1) — 1 (x + 2)...— 1 (x + n)(Art. 7) wählen, deren Allgemeinheit nicht beschränktist und die deshalb nie auf Irrthümer führen kann.
11 .
Obgleich diese Abhandlung sich keineswegs mitAnwendungen der Facultäten auf analytische Unter-suchungen beschäftigen soll, so werden hier doch einigeVergleichungen der Facultäten mit den trigonometri-schen Linien nicht am Unrechten Orte stehen, indem sieauf die fernere Untersuchung derselben oder der einge-führten Function Sl Einfluss haben. Durch die Sätzedes 3. und 4. Art., verbunden mit der bekannten Zer-fällung der Sinus in ihre Factoren, findet man leichtnoch einige Ausdrücke, die Kramp’s Abhandlung nichtenthält:
sina:5r =
(+*)
4—
(— x)
4—*|—i
Xn
x|l —*|t1 • 1
cosa:jr =
(4 — «0
ar|1
{\ — x)n
(-4+*)
ji—*h t j»— 4h
tg Xlt =
(+*)
41 1
.4l-i
= a:^ 1 (1—sc)
-4h
. . . . (18)
(- x)
Man kann diese Relationen noch auf vielfache Weiseverändern; z. E. nach (10*)
sm xn —
i*—!|i. j—*|i
— ac — 1|1
.(19)
Setzt man in den Ausdrücken des Sinus x = 4> so er-hält man
n = 2. I*' 1 . l _i 1 = (1 ~y = - i . 1 . 1 _l1 ' = etc.
woraus folgt:
I i!l = iVi1 ^ 1 = Yn
l-^ = -2V'nu. s. w.
12.
Die Function Sl hat ähnliche Relationen wie dieFacultäten und die ihr verwandten F. Setzt man im7. Art. x = 1, so ist
ß 1 = (w + 4) ln — n — 1 (1.2.3. . .n).Bekanntlich ist
„ _ A 2.2.4.4. . . 2 n. 2 n
4 '1.3.3.6. . .in.— 1.2m + T
_ 2 4 "+Y_ 1.2,3 ...n V
2«+l\ n + 1 ,n -)- 2.« + 3.. .'in)
oder
412»»=(2» + 1)12—41(2» + 1) + 1(1.2.3.. .»)
— 1 (n+1 .»+2. ..2n)
Man hat aber
1 (m+ 1 .m+ 2...2 m) = ( 2«+4)12w—( m+ 4)1 (m+ 1)—n+1und wenn man dieses substituirt
412 jt = — (» + 4) ln + ii + 1 (1.2.3. . .n)
Also ist
ßl-= —412*.(20)
Setzt man in die erste Gleichung (18) für die Facul-täten ihre Wertlie (12) und (13) und für das dann da-rin vorkommende Slx : —la: + ß(l+a:) nach (12), so
erhält man
l!i n +!L == 2ß4— ß(l+®) — ii CI — «).(21)
und hieraus für x — 0
1 ?r = 2ß 4 — 2ßlwelches mit (20) verbunden gibt
A4 = — 412.(22)
Aus den beiden hier gefundenen Sl für 4 ull( l 1folgen durch die Hülfe der Sätze (12) und (13) vieleandere durch endliche Ausdrücke angebliche. Allgemeinist nach jenen Sätzen:
Sl (x + m) = Slx + la+ lSl (x — m) = Slx — l(a; — l) m l -1
Setzt man hier x — l und = 4 und für >» alle ganzeZahlen, so ist
u. s. w.