Berechnung eines Dreiecks, dessen Seiten geodätische Linien sind.

3

126. Berechnung eines Dreiecks, dessen Seiten geodätische Linien sind.*)

(Astron. Nachr. 1, p. 85.)

Die in meinem letzten Briefe [x\bh. 125] Ihnen imitgetheilten Grundzüge einer Methode, geodätische jVermessungen zu berechnen, lassen, für die Bequem- jlic-hkeit der Anwendung, nichts Wesentliches zu wünschen jübrig; allein sie beruhen auf der sphärischen Be- |rechnung der Dreiecke und sind daher noch einer Ver- 'besserung fähig, welche freilich immer sehr klein undgewöhnlich ganz unbedeutend ausfallen wird, derenKenntniss man aber doch nicht entbehren darf, tlieilsweil Fälle Vorkommen werden, wo die Genauigkeit derRechnung aufs Höchste getrieben werden soll, theilsw'eil man ohne diese Kenntniss nicht beurtlieilen kann,wie viel man vernachlässigt. Dass die Voraussetzungder Kugelgestalt der Erdoberfläche in der Berechnungder Dreiecke Fehler erzeugt, welche nur von der Ord-nung des Products der Abplattung in den Flächeninhaltder Dreiecke, oder von der Ordnung des Products derAbplattung in den sphärischen Excess sind, wird auch !ohne Rechnung klar; aber, wenn die Vermessung sehrweit fortgeht, zum Beispiele wie die jetzt ausgeführtevon Greenwich bis Seeberg, so sind diöse Fehler nichtgeradezu als unwesentlich zu vernachlässigen, zumalwenn die Winkel mit einer solchen Genauigkeit beob-achtet sind, wie bei der eben erwähnten Vermessung.

Ich habe daher die in meinem letzten Briefe er-wähnte Aufgabe aufgelöset, indem ich genau untersuchthabe, wie ein Dreieck berechnet werden muss, dessenSeiten geodätische Linien sind. Gern theilte ich Ihnendie ganze Entwickelung mit, allein für heute kann ich

Sn'= \ee{k cotg n"-\- k cotg n

— cos op 2 (sin ri ■ , ■ sin 6 sin a")

~ v sin c

— cos (p 2 (k cotg «"sin er -j- Z/'cotg n sin a

nur das Resultat anzeigen, indem die Entwickelung sicheher für einen eigenen kleinen Aufsatz, als für einenBrief passt [vgl. Abli. 127J.

Die Polhöhen der drei Winkelpunkte eines spliä-roidischen Dreiecks ABC bezeichne ich durch (p, cp', <p";die Seiten desselben AB, BC, CA durch s, s', s"; diediesen gegenüberstehenden Winkel durch n, n , n”\ dieAzimuthe der Punkte B, C, A, von A, B, C gesehen,durch et, a , die Azimuthe der Punkte A, B, C, vonB, C, A gesehen, durch a , a”. Diese Azimuthewerden von Norden bis wieder nach Norden, stets nacheiner Richtung, also von 0 bis 360° gezählt, und man hatn = a "— ri= a — n”= a — a.

Ich denke mir ferner auf der Oberfläche einer, mitdem Aequatorialhalbmesser des Ellipsoids beschriebenenKugel ein Dreieck verzeichnet, dessen Seiten denen dessphäroidischen Dreiecks gleich sind, dessen Winkel alsonicht n, n , n", sondern von diesen verschieden seinwerden; ich bezeichne sie durch n + Sn, n - j- Sn',n"-\-Sn". Wenn daher Sn, Sn', Sn" bekannt sind, sokann man die von den geodätischen Linien gebildetenWinkel auf die des sphärischen Dreiecks reduciren unddaher das sphäroidische, mit diesen veränderten Winkeln,als ein sphärisches berechnen.

Den Ausdruck von Sn, Sn', Sn" habe ich bis zuden Quadraten der Excentricität entwickelt; die vierteund hohem Potenzen sind stets ohne merklichen Ein-fluss, selbst wenn man die Seiten nicht als kleineGrössen der ersten Ordnung betrachtet. Ich finde:

'' 2 )

-f- cos cp 2 ([1 — — k cos ö] sin a cos a — [1 —

tff I

• /F'cos ö"J sin r<"cos k")

-f- sin2cp(k sin 6 sin a — k "sin o”sin a ")}

wo

und

sm o sin e

— COS 6

j> " °

sin er"

- COS 6

gesetzt sind.

*) [151 d. a. Verz. — Brief an Scucmachkr vom 28. Dee. 1821.]

.(«)

Wenn die Seiten als kleine Grössen der erstenOrdnung angesehen werden, so sind die vier erstenGlieder dieses Ausdrucks von der zweiten, das letzteGlied aber ist von der dritten Ordnung; da diese Gliederin das Quadrat der Excentricität multiplicirt sind, sowird man meistentheils die ganze Berechnung sparen,oder doch mit den grössten Gliedern ausreichen können.Wenn dieses der Fall ist, man also die dritten und

l*