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VI. Geodäsie.
hohem Potenzen der Seiten weglässt, so wird der Aus-druck, wie man leicht findet, höchst einfach, nämlich:
ön'= —^z/eecos2(jp.( b )
wo D für ^GG"sin n , oder für den Flächeninhalt desDreiecks gesetzt ist. Man darf also die Winkel dergeodätischen Linien nur um diese leicht zu berechnendeQuantität verändern, um das Dreieck als sphärischesberechnen zu können.
Der Ihnen neulich schon mitgetheilte Ausdruckdes Azimuths der geodätischen Linie gibt das Mittel,die Winkel », n, n" aus den beobachteten Winkelnzu finden. Diese sind nämlich die Winkel je zweier,an einem Punkte verticaler, durch die beiden anderenPunkte gelegten Ebenen; nennt man sie v , v', v", sohat man:
{ ec cos (p 2 ^
1 - r—
sin 2« —
.*”„1
L t s a _
L tg o J
sin
+ ^ee sin 2<p ([2 tg 4 G — G] sin
oder, wenn man auch hier nur die niedrigste Ordnungberücksichtigt,
n=v' —jfjee cos qp 2 (g 2 sin 2« — g" 2 sin 2a") . . (d)
Die Winkel v, v ', v" findet man aber nicht durchunmittelbare Beobachtung, sondern dadurch, dassman von den aus dieser hervorgegangenen Winkeln .den dritten Theil der Summe der Fehler abzieht; diese ’ist in dem sphäroidischen Dreiecke stets grösser oderkleiner nls in dem sphärischen von gleichen Seiten,je nachdem die Polhöhen kleiner oder grösser als 45° ,sind; die beobachtete Summe der drei Winkel sollte- der Summe der Winkel in dem erwähnten sphäri-schen Dreiecke |
-j- dcc (cos 2cp -j- cos 2q)'-\- cos 2cp") . . . . (e)sein, woraus auch, wenn man diesen Ausdruck mit derFormel ( b ) vergleicht, folgt, dass die Summe der Winkelder verticalen Schnitte der Summe der Winkel dergeodätischen Linien gleich ist.
Sobald daher die Länge einer Dreiecksseite ge-geben ist, hat die richtige Berechnung des ganzenXetzes keine Schwierigkeit mehr: aus der Beobachtungund der Formel (e) findet man v, v', v"\ aus diesenWinkeln und (d) die wahren geodätischen Winkel unddiese, um ( b ) verändert, dienen zur Berechnung derübrigen Seiten. Käme es nicht auf die richtige Er-findung der Summe der Fehler der 3 Winkel an, sowürde man die Berechnung von (e) und (b) ganz sparenkönnen, ohne dadurch um Grössen von der Ordnung derhier berücksichtigten zu irren; man nähme daun denUeberschuss der drei beobachteten Winkel über die dreisphärischen, und zöge den dritten Theil desselben vonjedem beobachteten und durch die Formel (d) ver-besserten Winkel ab. W r enn aber mehrere Dreiecke
r c — [2tg£o"— g"] sin«").(c)
aneinandergereiht sind, muss man von (V) besondersRechnung tragen. — Die kleine Schwierigkeit, dassman keine Dreiecksseite als geodätische Linie unmittel-bar messen kann, ist leicht zu beseitigen; denn mausieht bei einiger Aufmerksamkeit leicht ein, dass derUnterschied der Entfernungen zweier Punkte, auf dergeodätischen Linie und auf dem verticalen Schnitte ge-messen, in das Biquadrat der Exceutricität und über-dies in einen Factor von der 5. Ordnung der Seitenmultiplicirt sein muss; die Basis kann daher, ohne weitereIteduction, als geodätische Linie angenommen werden.
Ob es je notliwendig sein wird, ein Dreiecksnetzauf diese W r eise zu berechnen, hängt von der Genauig-keit, womit man die Winkel beobachten kann, ab; ichglaube, man wird wohl immer mit der rein sphärischenRechnung ausreichen. Allein wenn die Vermessungeine sehr grosse Ausdehnung erlangt, und man daundie Entfernungen der verschiedenen Dreieckspunkte vondem Anfangspunkte als geodätische Linien betrachtet,sowie die Azimuthe derselben richtig berechnen will,so wird es schon eher nöthig sein, meine Formeln an-zuwenden. Auf jeden Fall gibt das, was ich Ihnen inmeinem letzten Briefe und heute mitgetlieilt habe, dieMittel zur richtigen Erfindung derjenigen Bestimmungs-stücke, auf welche unser trefflicher Tciixe *) und An-dere die mit so grosser Schärfe entwickelten Vorschriftenzur Berechnung der geographischen Länge und Breitegegründet haben. — Die Rechnung, welche dieses leistet,ist äusserst einfach und scheint mir weit bequemer zusein, als einige andere gebräuchliche Verfahrungsarten,worunter die Chorden-Methode mir die unangenehmste ist.
*) Tentamen circa trigonometriam aphäroiclicam. Hafniae 1815.