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VI. Geodäsie.

Formel (20) zeigt, durch die unmittelbare, auf der Ober-fläche der Erde vorgenommene, oder auf dieselbe redu-cirte Messung, nur in dem Falle des Verschwindens

des Integrals j erlangt werden; im Allgemeinen

liegt die gemessene Länge S einer Grundlinie nicht aufder Oberfläche des, der Erde im Ganzen am meisten ent-sprechenden Rotationsellipsoids, sondern auf einer der-selben parallelen, um den mittleren Werth von n, anden Punkten, über welche die Grundlinie hinweggeht,davon entfernten Oberfläche. Wenn man also dasDreiecksuetz berechnet, ohne etwas anderes zu vernach-lässigen, als das, was man, wegen Uubekanntsehaftmit den Unregelmässigkeiten der Oberfläche, nothwen-dig vernachlässigen muss, so erhält man, als letztesResultat, sehr nahe die Projectionen der Dreieckspunkteauf die eben angegebene Oberfläche. Wie weit diesevon der Oberfläche des Rotationsellipsoids, welches sichder Figur der Erde im Ganzen am meisten nähert,entfernt ist, bleibt so lange unbekannt, als man nichtMittel finden wird, die Grössen der Unregelmässigkeitenzu erkennen.

Die Summe der Winkel eines Dreiecks kann Un-regelmässigkeiten der Figur der Erde nur durch eineGrösse verratlien, welche in tg \ ff, tg | ff', tg J ff",oder in die Verhältnisse des Durchmessers der Erde zuden Längen der Seiten, multiplicirt und daher immer

d n

Setzt man darincc = cc

cc

cc'

cc

«"-f 180°n' + 180°

a = u + 180°a' = cc -j- n"a "= cc — n

sehr klein ist. Allein wenn

i d nund -3—

d 7]

was bis auf Grössen von der Ordnung ff, ff', ff" richtigist, so erhält man die Summe:

= |— ff sin cc -f- ff' sin (« + »?") -|- ff" sin(«— w')j ^

— | — 6 cos cc -f- ff'cos (« + »") -f- ff"cos(«— w')j ^Der erste Theil derselben kann

• f ■ t rr.tr t ) f7 ??

sin « . — 6 + 6 cos n +o cos n [ -jy

i )

, ( , . ,t „ . ,\dn

4- cos cc \ ff sm n — ff sm n y 77

l J

geschrieben werden und verschwindet also, wenn mandas Dreieck als ein ebenes betrachtet; der zweite Theilverhält sich eben so, da der in der zweiten Klammerenthaltene Factor aus dem in der ersten enthaltenenentsteht, wenn man a in cc -f- 90° verwandelt. Unter

der Voraussetzung gleicher Werthe von ^ und 7- für

p 0 di dij

alle drei Dreieckspuiikte ist daher die Summe der Win-kel, in Grössen von der hier betrachteten Ordnung, vonder Unregelmässigkeit der Oberfläche unabhängig.

Was die Berechnung des Dreiecksneties anlangt,

eines Dreiecks gleich wären, so würde die Summe derWinkel nicht einmal in Grössen dieser Ordnung vondem Werthe verschieden sein, welchen sie im Falle derRegelmässigkeit der Oberfläche besitzt. Man leitet die-ses sehr leicht aus dem Ausdrucke der auf diese Ober-fläche reducirten Winkel ab, indem man darin die Qua-drate von tg^ff, tg^ö', tg^ff" vernachlässigt. Wennman die Dreieckspuukte durch A , B, (1 bezeichnet, dieAzimutlie der Richtungen

All — cc 11A — ct

BC = «'• CB = «'

CA = «" AC = a"

die Winkel des Dreiecks cc — a" = n, cc'—a = n",cc" — a' = n, und die ihnen gegenüberstehenden Seiten— ao', aa", aa setzt, so hat man die Summe der Re-ductionen aller drei Winkel des Dreiecks = der Hälfte von

.il«

' Atj

(—ff sin« —(— ff"sinr?

f\ d h . ,

),7£+(*

cos « — 6 cos a

1 1 ' 1 • \ d 71 . * t t \ d 71

—0 sm« -f-ö sm«) cos« — a cos«)^

+(-

di

-ff"sin«"+ff' sinn') ~ -f- (ff"cos cc "— ff' cos a’) (ln

für die 3 Punkte welches durch die geodätischen Linien gebildet wird,welche die Projectionen der Dreieckspunkte auf dfe, derOberfläche des Rotationsellipsoides parallele, oben näherbestimmte Oberfläche, mit einander verbinden, so sinddafür zwei Vorschriften vorhanden. Die, der Zeit ihrer; Bekanntmachung nach, erste habe ich in den Astr.

! Nachr. Nr. 6 [Abh. 126J gegeben; die zweite verdankenwir Gauss, welcher sie in seiner Abhandlung über diekrummen Oberflächen vollständig entwickelt hat. Dieseist weit vollkommener als jene, indem sie für jede, Oberfläche gilt, während die andere sich nur auf dasI wenig excentrische Rotationssplniroid der Erde bezieht.1 Für ein solches Sphäroid habe ich indessen Formelnentwickeln können, welche die Dreiecksseiten nicht alsI kleine Grössen voraussetzen, also auf Dreiecke von jeder; beliebigen Grösse anwendbar sind.

i

j 8 .

! Nachdem ich gezeigt habe, dass das Resultat, wel-ches man aus der Messung einer Grundlinie und derBeobachtung der Winkel eines Dreiecksnetzes, ohneI dabei auf Unregelmässigkeiten der Oberfläche der Erde ' Rücksicht zu nehmen, berechnet, wenig verschieden ist

dr]