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Allgemeine Auflösung der Aufgabe:

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Indem ■wir Kürze halber

(aa -p bb-\-cc') dt 2 -f3( aa ' + W"b cc')dt .du -\- (ad -\-Vli cc) du 1 = tasetzen, bemerken ■wir, dafs die Differentialgleichung u = o zweiIntegrationen zulassen wird. Indem man nemlich das Trino-inium ca in zwei, iu Beziehung auf dt und du lineare, Factorenzerlegt, mufs entweder der eine oder der andere Factor — owerden, welches zw r ei verschiedene Integrationen geben wird.Die eine Integration wird der Gleichung0 = (a a + l b 4- cc) d t

+ d + b V + c c -j- i y ((a a -f- ü + c c) («a-f Vb'-\- cc ) — (aa -f bb' + cc )* du

entsprechen (w r o i Kürze halber für y" — i ^geschrieben ist,indem man sich leicht überzeugt, dafs der irrationale Theil desAusdrucks imaginär werden mufs); die andere einer ganz ähn-lichen Gleichung, wenn nur i mit — i vertauscht wird. Ist alsodas Integral der erstem Gleichung dieses:

■ p -J- iq = Const.

wo p und q reelle Functionen von t und u bedeuten, so wirddas andere Integral

p — iq = Const.

und die Natur der Sache wird es mit sich bringen, dafs(dp + idq).(dp — idq ) oder dp 1 + dq 1ein Factor von ca , oder

(0 = n(dp 2 + d q 1 )

werden mufs, wo n eine endliche Function von t und u seynwird.

VI ir wollen nun das Trinomium, in welches

, dX 1 + d Y* + dZ *

, ■ > . .

übergeht, wenn für d X, dY, dZ ihre Werthe durch T , U,dT,.dU subsiituirt werden, durch 12 bezeichnen, und anueh-;men,. dafs auf ähnliche W eise; wie vorher, die beiden Iutegraleder Gleichimg 12 = o diese seyu;