Die T lieile einer gegebnen Fläche auf einer andern abzubildeu etc. Ô

P + i Q = Conat.

P — i Q = Conat.und Sl = N(dP * + dQ *)

■wo P, Q, N reelle Functionen von T und U bedeuten werden.

Diese Integrationen lassen sich (die allgemeinen Schwierig-keiten des Integrirens bei Seite gesetzt) offenbar vor der Auf-lösung unsrer Hauptaufgabe ausführen.

Wenn nun für T , V solche Functionen von t, u substituâtwerden, wobei die Bedingung unsrer Hauptaufgabe erfüllt wird,so geht £2 in mmu über, und es vvird

n J1 (rf P -f- i d Q) . ( d P — id Q') mmn

.££ ~ 3? ~ (dp ■+• idq) .( dp — idq) A

Man sieht aber leicht, dafs der Zähler im ersten Theile dieserGleichung durch den .Nenner nur daun theilbar seyn kann, wenn

entweder dP-\-idQ durch dp + idq, und dP—idQ durch dp — idq,oder dP-^idQ durch dp — idq, und dP — idQ durch dp-\-idq

theilbar ist. Im ersteren Falle wird demnach dP+idQ ver-scliw’iuden, wenn dp +idq = o, oder P + i Q wird constantwerden, wenn p + iq constant angenommen wird, d. i. P + iQwird blofs Function von p + iq seyn, und eben so P—iQFunction von p — iq. Im andern Falle wird P+zQ Funcliouvon p — iq, und P—iQ Function von p + iq seyn. Es istleicht einzusehen, dafs diese Folgerungen auch umgekehrt gelten,uemlich dafs, w 7 enn für P+iQ, P — iQ Functionen vonp + iq, p — iq (entweder respective, oder verkehrt) angenommenwerden, die endliche Theilbarkeit des £2 durch u, und sonachdie oben erforderlich gefundene Proportionalität Statt haben wird.

Man überzeugt sich übrigens leicht, dafs wenn z. B.

P + iQ =f(p + iq), P— iQ = /' (p—iq)gesetzt "werden, die Beschaffenheit der Function f' schon durchdie von f bedingt wird. Wenn nemlich unter den constantenGröfsen, welche letztere etwa iuvolviren mag, keine andere alsreelle befindlich sind, so wird die andere j f mit der /’ ganzidentisch seyn müssen, damit jedesmal reellen Werthen von p,.g

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