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XXVI. Beispiele von Flächen kleinsten Inhalts

Nimmt man h und die Richtungen der begrenzenden Geraden alsgegeben an, so hängen unsere Ausdrücke, abgesehen von den additivenOonstanten in X, Y, Z, von n -)- m — 2 unbestimmten Constantenab, für welche man die Entfernungen der Punkte C, C vom Null-punkt in der >j -Ebene annehmen kann, zwischen denen nach dem so-eben Bemerkten zwei Relationen bestehen müssen. Ebenso gross istaber auch die Anzahl der Constanten, welche die gegenseitige Lageder Grenzpolygone bestimmen. Man kann nemlich, indem man zweiPolygonseiten zur Fixirung des Coordinaten-Anfangspunkts festhält,jeder der n -j- in — 2 übrigen noch eine Parallelverschiebung in ihrerEbene ertheilen.

Einfachere Gestalten nehmen die Resultate an, wenn wir gewisseSymmetrieen in den Verhältnissen der begrenzenden Vielecke voraus-setzen. Es möge im Folgenden der Fall betrachtet werden, dass diebeiden Vielecke regulär seien und die beiden Endflächen einer geradeabgestumpften geraden Pyramide mit regulär-vieleckiger Basis bilden.

Die Umkehrpunkte der Normalen liegen in diesem Fall sämmtlichin den Mittelpunkten der begrenzenden Geraden, und fallen daherpaarweise in dieselbe durch die Axe der Pyramide gehende Ebene.

Legen wir die y -Axe senkrecht gegen eine der begrenzenden Ge-raden, so wird in der rpEbene ein Punkt C und ein Punkt C in derreellen Axe liegen, auf welcher sie die Abstände >/,' vom Nullpunkthaben mögen. Die Punkte C, bezw. C liegen auf zwei concentrischenKreisen, auf welchen sie die Ecken je eines regulären Polygons bilden,und zwar so, dass immer ein Punkt C und ein Punkt C" auf demselbenRadius-Vector liegt.

Da nun in der Begrenzung der Fläche T ein Punkt beliebig an-genommen werden kann, so mag festgesetzt sein, dass dem auf derreellen Axe gelegenen Punkt V der Punkt t = 0 in einem der beidenBlätter von T entspreche. Es folgt dann aus der Symmetrie, dass daszwischen C und C liegende Stück der reellen Axe in der ij-Ebene inder Fläche T einer Linie entspricht, welche vom Punkte t = 0 imersten Blatt nach dem Verzweigungspunkt t — i, und von da zurückzum Punkte t — 0 im zweiten Blatt längs der imaginären Axe ver-läuft. Demnach hat die Function (p(t, d(t)) für rein imaginäre Wertlievon t selbst rein imaginäre Werthe, und dem Punkte C entsprichtder Werth t = 0 im zweiten Blatt.

Nun wird die Fläche II durch die Substitution yrf = >f n auf einemit H congruente Fläche II' abgebildet in der Weise dass die Punkte C indie Punkte C' übergehen und umgekehrt (nur in vertauschter Ordnung).