Mathematiker ausserhalb der pythagoreischen Schule.

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Mathematik bezeugend. Arithmetische , geometrische, harmonischeVerhältnisse und Reihen, unter den arithmetischen Reihen auch solche,welche die Sprache heutiger Wissenschaft arithmetische Reihenhöherer Ordnung nennt, sind Dinge, die man am Anfänge einerEntwicklung nicht zu finden erwarten darf, noch weniger die freilichauch weniger gut beglaubigten befreundeten und vollkommenenZahlen. Die Ueberlieferung lässt wirklich einige dieser Gegenstände ausBabylon eingeführt sein. Fremdländisch war vielleicht auch dieMethode des mathematischen Experimentes d. h. der Zerlegung vonFiguren in andersgestaltete, der Vereinigung von Reihengliedernderselben oder verschiedener Reihen zu Summen, zunächst nur in derunbestimmten Absicht zu versuchen, ob dabei etwas geometrisch,etwas arithmetisch Merkwürdiges sich offenbaren möchte. Für grie-chisch dagegen hielten wir die eigenthiimliclie Verquickung vonGeometrie und Arithmetik, die geometrische Versinnlichung der Zahlen-lehre, wie sie in der Ebenen- und Körperzahl, in der Dreiecks- und(Riadratzahl, in der Vielecks- und Gnomonzahl zu Tage tritt. Pytha-goreisch war nach unserer durch mannigfache Ueberlieferung gestütztenDarstellung die Erfindung des Satzes von den Quadraten der Seitendes rechtwinkligen Dreiecks als eines arithmetischen ausgehend vondem bestimmten Zahlenbeispiele 3 2 -)- 4 2 = 5-, Pythagoräisch warendlich eine Regel zur Ermittelung anderer Zahlen als 3, 4, 5, welcheals Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks dienen können, pythagoräischdie Lehre vom Irrationalen. Vom Irrationalen sagen wir und müssenwir sagen, nicht von der Irrationalzahl, (lenn das Irrationale war denGriechen keine Zahl. War den Pythagoräern doch sogar die Einheitnoch keine Zahl, sondern erst eine Vielheit von Einheiten. Brüchemögen dem Il'e ebner vorgekommen sein, sei es als wirkliche Brüchemit Zähler und Nenner, sei es als Unterabtheilungen von Münzen,von Gewichten, von Feldmassen, jedenfalls immer als concrete Brüche.Der abstrakte Bruch war für den Arit hm etiker nicht vorhanden. Erkannte llriiclie nur mittelbar als Verhiiltniss zweier Zahlen. Um soweniger konnte ihm das Irrationale eine Zahl sein, welchem nicht ein-mal ein aussprechbares Verhiiltniss den Eintritt in die Zahlenreihegestattete. Diese wichtige Beschränkung des Begriffes der Zahl erhieltsich über die Zeit der Pytlmgoräer weit hinaus. Sie blieb, was denAusschluss des Irrationalen betrifft, so lauge als überhaupt vongriechischer Arithmetik die Rede ist.

Kapitel VIII.

Mathematiker ausserhalb (1er pylliagoräisclien Schule.

Die Mathematik nahm, wie wir weitläufig gesehen haben, einenmächtigen Aufschwung durch die pythagoreische Schule. Es war