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Kapitel VII.

c selbst ungrad sein, etwa c=2 «-f- 1. So kam die Formel desPythagoras darauf hinaus (2 a l) 2 = (2 k -f l) 2 - 1 zu setzen,und darnach aus (2 a -j- l) 2 = « -f- b und 1 = a — b die VVerthe

b = ^ a 1 und a = a + 1 zu ermitteln, welche

zusammen mit c = 2 a -f- 1 die gestellte Aufgabe lösen. Die Formen,in welchen b und a auftreten, entsprechen, wie man sofort erkennt,genau dem Wortlaute der Angabe des Proklus, was immer eingünstiges Vorurtheil für die Richtigkeit eines Wiederherstellungsver-suches gewährt, und da überdies in Aegypten , wie wir aus [demUebungsbuche des Ahrnes wissen, Aufgaben von algebraischer Naturzu lösen nicht ungebräuchlich war, so scheitert der Versuch auclinicht an der Frage, ob es für Pythagoras möglich gewesen sei, schonderartige Schlüsse zu ziehen, wie sie hier verlangt wurden.

Fassen wir den Inhalt dieses und des zunächst vorhergehendenKapitels in Kürze zusammen. Pythagoras hat, so suchten wir zuerweisen, sicherlich in Aegypten , vielleicht in den Euphratländernmathematisches Wissen sich ungeeignet. Ersteres geht wie aus denausdrücklichen Ueberlieferungeu, so auch aus dem ägyptischen Geprägemancher geometrischer Entwicklungen, Letzteres aus den babylonischanmuthenden Zahlendifteleien der Pythagoräer hervor. Die Summedes geometrischen Wissens, welches von Pythagoras und seiner Schuleden Griechen vor dem Jahre 400 zugänglich gemacht wurde, ist einenicht ganz geringfügige. Sie umfasste die Kenntniss von den Parallel-linien und den durch dieselben beweisbaren Winkelsätzen, insbesondereden Satz von der Summe der Dreieckswinkel. Sie umfasste Con-gruenzsätze des Dreiecks und Sätze über Flächengleichheit, derenAnwendung die sogenannte Anlegung von Flächen bildete. Sie liessumgekehrt Figuren als Summe anderer Figuren entstehen, wobeivielleicht das Sternfünfeck entdeckt wurde, wenn wir auch für diesesnicht mit gleicher Sicherheit wie für die anderen Dinge die altenPythagoräer als Urheber behaupten möchten. Sie umfasste den pytlia-goräischen Lehrsatz und den goldenen Schnitt. Sie enthielt endlich•auch Anfänge einer Stereometrie, insbesondere die Kenntniss der fünfregelmässigen Körper und der Kugel, welche dieselben umfasst. DieSätze waren mit Beweisen versehen. Allerdings Hessen die Beweisevermuthlich nicht gleich die Strenge erkennen, welche man geradezugeometrische Strenge zu nennen pflegt, und legten erst nach undnach den Charakter eines Erfahrungsbeweises ab, nahmen noch späterjene allgemeineren Fassungen an, welche in einheitlicher Betrachtungdie Nothwendigkeit der Unterscheidung von Sonderfällen verbannt.Noch unvergleichbar mehr leistete die pythagoräische Schule in derArithmetik, grade durch die Grösse der Leistungen die Wahrschein-lichkeit fremden Ursprunges auch für diesen Zweig griechischer