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Kapitel IX.

sich zu zwei liechten ergänzen, weiss Hippokrates offenbar nochnicht. Er zeigt vielmehr durch Congruenzen, dass der vierte Eck-punkt A des als gegeben gedachten Trapezes sich auf dem durchdie drei anderen Eckpunkte A BF gelegten Kreise befinde. (Eig. 32.)

Er halbirt die Winkel bei A und F durch sl Eund FE und zieht von deren Durchschnitts-punkte E aus die E B und E A. Weil nunA B = r A war, wusste man daraus auf dieGleichheit der W inkel BAT—ATA zu schliessej i.Daraus folgte, dass auch die Hälften BAE,EAF, AFE, ETA sämmtlich unter einandergleich waren. Ferner war gegeben BA —AF= rA. Da nun A E sich selbst gleich, soist vermöge des Congraenzsatz.es von den beiden gleichen einengleichen Winkel einschliessenden Seiten Dreieck BAEco EAF undEB — EF. Wegen der Gleichheit der Winkel EAT, ATE ist aberbereits EF= EA, mithin ist EB = ET — EA oder E der Mittelpunktdes durch AB F gelegten Kreises. Jetzt ist bei AT= TA, EF= EF,Winkel sl FE= EFA auch die Congruenz AFEro EFA erwiesenund in diesen Dreiecken EA = EA d. h. der genannte Kreis gehtauch durch A. Dieser Heweis bestätigt unsere obige Bemerkung,Hippokrates habe versäumt den Nachweis zu liefern, dass ein Trapezvon dem verlangten Seitenverhältnisse überhaupt möglich sei. liierist nämlich nur dieGleicliheit von drei Seiten BA , A F, FA, nichtderen Verhältnis» zur vierten Seite BA berücksichtigt. Anders gesagt :es ist bewiesen, dass jedes Paralleltrapez mit drei gleichen Seitenein Sehnenviereck ist.

Hippokrates beschäftigte sich, wie wir (S. 172) ankündigend be-merkten, auch noch mit einem anderen mathematischen Probleme,mit der Würfelverdoppelung. Das ist die letzte uns hier be-gegnende von den drei grossen Aufgaben der griechischen Mathe-matiker, welche ihnen Gelegenheit gaben ihre Kräfte zu üben unddas zu erfinden, was man die höhere Mathematik jenes Zeitraumeszu neunen berechtigt ist. Ueber die Geschichte der Würfelverdop-pelung sind wir durch namhafte Ueberbleibsel aus alter Zeit ziemlichgut berichtet, und selbst der sagenhafte Anstrich des Ursprungs derAufgabe wird im 30. Kapitel sich als erheblich ausweisen. Eingriechischer Mathematiker Eratosthenes im III. S. schrieb anPtolemäus Euergetes den ägyptischen König einen Brief über diesenGegenstand, der sich bei Eutokius von Askalon, einem späten Com-mentator des Archimed, erhalten hat und dessen Anfang wir hierbeifügen 1 ). Trotzdem er ziemlich weit jenseits der gegenwärtig

Fig. 32.

') Zur Geschichte der Würfelverdoppelung vergl. N. T. lteimer, llistoria