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Kapitel X.

liegen, da diese Namen Hyperbel und Parabel, wie wir noch sehenwerden, viel späteren Ursprunges sind. Der Bericht des Eutokiusüber die Würfel Verdoppelungen des Menächmus unterscheidet sich inwesentlicher Art von dem über die Methode des Archytas. Währendbei Archytas nur die Synthese mitgetheilt, die Analyse aber ver-schwiegen ist 1 ), ist bei Menächmus über Analyse und Synthese gleich-mässig berichtet und uns dadurch ein vortreffliches Beispiel zurKenntniss jener beiden Schlussarten der Alten in die Hand gegeben.Mögen a, x, y, b wieder die vorige Bedeutung haben, mithina : x = x : y = y :b zu construiren sein. Weil a : x — x : y wird(Figur 36) ein Punkt 0, von dem aus die Senkrechte ®Z = x auf

eine Gerade All gefällt ist, auf der voneinem gegebenen Anfangspunkte A aus dieLänge AZ*=y genannt wird, nothwendigauf einer durch A hindurchgehenden Parabelliegen. Zieht man ferner AK K 0Z und®K 11 AZ, so ist das Rechteck A K ®Z.gemessen durch x X y d. h. wegen a : x =y : b, gemessen durch n X b, oder gegeben.Demzufolge liegt 0 auch auf einer Hyperbel,deren Asymptoten die AK und AZ sind.Das ist die Analyse. Sie geht aus vonder Annahme, der Punkt©, welcher durch dieLinien x, y erst festgelegt werden soll, sei schon vorhanden, und ziehtdaraus Folgerungen, welche für die Lage von 0 anderweitige Merk-male liefern. Nun kommt die Synthese, d. h. hier die Construction dergenannten Curven. In einem Punkte A lässt man zwei Senkrechte Zu-sammentreffen. Dann zeichnet man eine Parabel mit A als Scheitelpunkt,der einen der gezogenen Geraden All als Axe und a als Parameter.Ferner zeichnet man zwischen die beiden Geraden All und AK als

Asymptoten eine Hyperbel unterder ßedingu ng, dass das Rechteck dermit K A, A H bis zum Durchschnittemit diesen Geraden in umgekehr-ter Folge von jedem Hyperbelpunktegezogenen Parallelen dem Rechteckeaus a und b gleich sei. Dann schneidensich Parabel und Hyperbel in demPunkte©, dessen senkrechter Abstandvon A H das gesuchtem ist. Die zweiteMethode des Menächmus (Figur 37)

*) Bretschneider 152 hat versucht die Analyse des Archytas zu errathen und,wie uns scheint, mit ziemlichem Glück. Vergl. auch Flauti, Geometria disito .Neapel , 1821, pag. 173—174.

Fig. 37.

Fig. 36.