209
Lemma, welches Eutloxus hier anwandte, sagt uns auch Arehimed.Es lautet wie folgt. „Wenn zwei Flächenriiume ungleich sind, soist es möglich den Unterschied, um welchen der kleinere von demgrösseren übertroffen wird, so oft zu sich selbst zu setzen, dass da-durch jeder gegebene endliche Fliicheuraum übertrolfen wird. 1 ' Arehimedsetzt hinzu, mit Hilfe des gleichen Lemma hätten auch die Alten dieProportionalität des Kreises zum Quadrat des Durchmessers bewiesen,so dass möglicherweise der Beweis des Hippokrates von Chios schondieses Lemma voraussetzte, und nicht, wie wir (S. 178) wahrschein-lich zu machen suchten, von einer rechnenden Betrachtung ausging.Jedenfalls war, wenn auch die- Kenntniss des Lemmas als solchendem Eudoxus entrückt werden zu müssen scheint, seine Leistung einesachlich wie methodisch hervorragende, und wir haben ihn als einender ersten Bearbeiter des Exhaustionsverfahrens unter allen Umständenzu nennen.
Noch eine dritte Gruppe, von geometrischen Untersuchungen desEudoxus darf nicht schweigend übergangen werden. Eudoxus istErfinder einer Curve, welche zwar in der Astronomie ihre wesent-liche Anwendung gefunden hat, aber darum nicht weniger der Geo-metrie angehört.') Sie wurde von ihm selbst llippopede, dasheisst Pferdefessel, genannt, und Xenophon beschreibt sie in seinemBuche über die Beitkunst als die Art des Laufes, welche beide Seitendes Pferdes gleichmässig ausbilde und jegliche Wendung zu machengestatte. Auch heutigen Tages sucht man durch das sogenannteAchterreiten die gleiche Wirkung hervorzubriugen, und so wird sehrwahrscheinlich, dass es eine schleifenartige Curve war, welche Eudoxusso benannte. Damit stimmen Stellen des Proklus überein, welchedie llippopede eine spirische Linie nennen, und welche bezeugen,dass sie einen Winkel bilde, indem sie sich selbst schneide. 2 ) Wirwerden von dem Erfinder der spirisclien Linien noch später zu redenhaben. Jetzt dürfen wir aber schon bemerken, dass man unterSpi re, öitelga, einen sogenannten Wulst versteht, d. h. einen ring-förmigen Rotationskörper, welcher durch die Drehung eines Kreisesum eine in seiner Ebene liegende aber nicht durch den Mittelpunktgehende Gerade erzeugt wird. 3 ) Schneidet man diesen Wulst durcheine der Drehungsaxe parallele Ebene, so entsteht eine spirischeLinie, deren Gestalt je nach der Entfernung der Schnittebene
') Ueber diese Curve vergl. den V. Abschnitt des vorher erwähnten Auf-satzes von Schiaparelli, deutsche Uebersetzung S. 137—155 und Knocheund Maerker (Ex Procli successoris in Eudidis elementa commentariis defini-tionis quartae expomitionem quae de recta cst linea et sedionibus spiricis commen-tati sunt Knoche et Maerker). Herford , 1856. 3 ) l’roklus (ed. Friedlein)
pag. 127, 128, 112. 3 ) Proklus (ed. Friedlein) pag. 119. Heron Alexan-
drinus (ed. Hultsch) pag. 27, Definit. 98.
Cantok, Geschichte der Mathem. X. 14