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A P) K
Fig. 39.
die Kreisperipherie, oder das Vierfache des Quadranten, zur Grund-linie und den Kreishalbinesser zur Höhe hat. Jene Länge des Qua-dranten aber ist erstes Glied einer stetigen geometrischen Proportion,deren Mittelglied der Halbmesser und deren letztes Glied die Ent-fernung des Kreismittelpunktes von dem Endpunkte der Quadratrix ist.(Figur 39.) Wäre nicht, wie behauptet wird, BEzl : rA = FA : F&,so wäre etwa BEzl : Tzl — Hz/: FR undrK y r®. Man beschreibe mit r alsMittelpunkt und FK als Halbmesser einenzweiten Quadranten ZUR, welcher dieQuadratrix in 11 schneidet. Da die Propor-tionalität der Quadranten und ihrer Halb-messer B Ezl : ZIIK — Fzl : rK zur Folgehat, so verbindet sich dieses Verhältnis mitdem Vorhergehenden zu Z 11K = r zl = B T.
Wegen der Grundeigenschaft der Quadratrixist auch Bogen ß EU : Bogen Ezl=BF: IIAund, weil die concentrischen Quadranten BEzl, ZUR durch denHalbmesser FIIE geschnitten sind, ist ferner Bogen BEzl: BogenEzl — Bogen ZUR : Bogen IIK —BF: Bogen IIK. Daraus folgtwieder durch Verbindung zweier Verhältnisse Bogen 11K = 11A, wasunmöglich ist. In ähnlicher Schlussreihe wird nachgewiesen, dassdas Schlussglied der Proportion, deren Anfangsglied die Quadranten-länge uud deren Mittelglied der Halbmesser ist, auch nicht kleinerals r® sein kann, also muss r® selbst jenes Schlussglied sein.
Dieser Beweis ist der erste indirekte Beweis, welchem wir be-gegnet sind, wenn wir auch keineswegs annehmen, hier sei wirklichzuerst die Zurückführung auf Widersprüche vorgeuommen worden.Die analytische Methode, das haben wir ja gesehen, musste den Be-weis aus dem Gegeutheil bevorzugen, als denjenigen, der eine nach-folgende Synthese entbehrlich machte (S. 189), und so wird auchwohl spätestens mit dieser Methode der apagogische Beweis entstandensein — spätestens, denn es ist keineswegs unmöglich, dass er zumZwecke der dem Hippokrates schon nicht fremden Exhaustion er-funden worden wäre. Zu dem bewiesenen Satze selbst wollen wirnoch besonders hervorheben, was wir oben gelegentlich gesagt haben.Der Name der Quadratrix darf uns nicht irren, als ob es hier wirk-lich um eine Quadratur sich handelte. Diese folgt erst in zweiterLinie. Eine Rectification des Kreiscjuadranten ist vielmehr vor-genommen, und -zwar dürfte es das erste Mal gewesen sein, dass dieseAufgabe behandelt wurde, um welche von jetzt an die Zahl der grossenProbleme der Geometrie vermehrt ist.
,,Tlieydius von Magnesia scheint sowohl in der Mathematikals auch in der übrigen Philosophie bedeutend zu sein; er schrieb