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Kapitel XI.

kleinere Kreis allein auf der Geraden yd, so wird yx seinemQuadranten gleich; mithin, wenn ß nach x gekommen ist, wird dießcc senkrecht auf yd stehen, llollt der grössere Kreis allein auf derGeraden so wird £i seinem Quadranten gleich; mithin steht dieyu senkrecht auf wenn y nach i gekommen ist. Nun seien diebeiden concentrischen Kreise zu einem Rade verbunden. Jetzt stellen<xß und ay eine starre Linie vor, die nicht getrennt werden kann,und es muss folglich beim Rollen des inneren Radkreises längs ydschon, wenn ß in x angekommen ist, y in A angekommen sein, alsoder Bogen t,y einmal der Strecke §i, einmal der Strecke £A gleichsein. Dieses Paradoxon wusste allerdings Aristoteles nicht zu lösen,und er hatte darin Nachfolger bis in das XVII. S. n. Ohr. Erstrationelle Zerlegung der zusammengesetzten Kreisbewegung konntezur richtigen Erkenntniss führen, dass in der That das Wälzen einerCurve auf einer Geraden nicht immer die Gleichheit des krumm-linigen und des gradlinigen Stückes zur Folge haben müsse, die nacheinander zur Deckung kommen . l )

Bei Aristoteles sind wir auch wohl berechtigt Kenntnisse jenesKapitels der allgemeinen Wissenschaftslehre vorauszusetzen, von welchemwir bei Xenokrates die ersten uns zur Kenntniss gekommenen Spurenbemerkten. Wir meinen die Combinatorik. Aristoteles hat dieDialektik der Sophisten zur eigentlichen Syllogistik ausgebildet, unddie verschiedenen Arten von Schlüssen, welche er in der Auseinander-setzung dieser Lehre unterscheidet, erschöpfen in der That sämmt-liche Möglichkeiten. Es ist somit hier thatsächlich eine Aufzählungder Combinationen gewisser Elemente in ihrer Vollständigkeit ge-geben. Später zählte man auch die Gebilde logisch möglicher Be-griffszusammenstelluugen. Der Stoiker Chrysippus , welcher 282bis 209 lebte, hat die Zahl der aus 10 Grundannahmen möglichenVereinigungen auf über eine Million veranschlagt. Allerdings setztPlutarch , der uns die Sache erzählt, hinzu, die Arithmetiker seien mitChrysippus keineswegs einverstanden, und Hipparch, der zu denArithmetikern gehöre, habe gezeigt, dass, wenn man die Axiome be-jahend ausspreche 103 049, wenn man sie verneinend benutze 310 952Verbindungen entstehen 2 ). Wir stehen der Bedeutung dieser Zahlengrade so verständnisslos gegenüber, wie früher bei Xenokrates seiner Zahlmöglicher Silben. Wir ziehen aber aus den Zahlen selbst die gleiche Folge-rung, dass den Griechen combinatorische Fragen nicht vollständig fremd-artig waren, und dass sie auf irgend eine Weise Formeln, mit grössterWahrscheinlichkeit falsche Formeln, zu deren Beantwortung benutzten.

') Ueber das Rad des Aristoteles vergl. Kliigel, MathematischesWörterbuch (fortgesetzt von Mollweide) Bd. IV, S. 171—174 unter: Rad, aristo-telisches. 2 ) Plutarclius, Quaestion. Convivial. VIII, 9, 11 und 12 sowie auchl)e Stoicorum repugnantüs XXIX, 3 und 5.