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gleichfalls gegebene Figur sei, dass wenn so viel abgeselmitten (zu-gesetzt) wird, als nöthig ist um Flächengleichheit zu erzielen, diesesStück selbst dem erstgegebenen Parallelogramme ähnlich werde. Euklid drückt diese Forderung durch die Worte aus, der Flächeninhalt F solle an der Linie AB Etwas übrig lassen, sXXsinti, oder darüberhinausfallen, vti
Das VII., VIII. und IX. Buch beschäftiget sich mit der Lehre vonden Zahlen. Der nächste Zweck ist das arithmetische Messen derUngleichheit, also diejenigen Folgerungen aus der Proportioneulehrezu ziehen, welche an Zahlengrössen hervortreten. Allein damit ver-bindet Euklid , vielleicht weil nirgend eine passendere Gelegenheitsich finden wird, eine Zusammenstellung aller ihm bekannten Eigen-schaften der ganzen Zahlen. Rechnungsoperationen mit denselbenhat er, wie wir uns erinnern, schon im II. Buche ausführen lassen.Das VII. Buch beginnt mit der Unterscheidung von theilerfremdenZahlen und solchen, welche ein gemeinsames Maass besitzen,und mit der Auffindung dieses letzteren. Euklid findet dasselbe voll-ständig in der heute noch üblichen Weise durch fortgesetzte Theilungdes letztmaligen Divisors durch den erhaltenen Best, mithin, wennwir es nicht scheuen auch moderne Namen zu gebrauchen, wo moderneVerfahren angewandt sind, durch einen Kettenbruchalgorithmus.Dann ist von Zahlen die Rede, welche dieselben Theile anderer Zahlensind, wie wieder andere von vierten, und damit ist also die Zahlen-proportion eingefülirt. Abgesehen von den vielen neuen Propor-tionen , welche in der mannigfaltigsten Weise aus den erstgegebenenabgeleitet werden, führt der Satz von der Gleichheit der Produkteder inneren und der äusseren Glieder einer Proportion auf die Theil-barkeit eines solchen Produktes durch einen der Faktoren des an-deren Produktes und zur Theilbarkeit überhaupt. Der Rückwegzur Untersuchung theilerfremder Zahlen ist damit gewannen, undden Schluss des Buches bildet die Auffindung des kleinsten ge-rn einsamefi Dividuums gegebener Zahlen.
Das VIII. Buch setzt die Lehre von den Proportionen fort, indemes zu Gliedern der Proportion nur solche Zahlen wählt, welche selbstProdukte sind, und zwar zum Theil Produkte aus gleichen Faktoren.An die früheren geometrischen Lehren erinnern eben noch die Be-nennungen, welche in diesemBuche zur Anwendung gelangen: Flächen-zahlen, ähnliche Flächenzahlen, Quadratzahlen, Körperzahlen, Kubik-zahlen, lauter Wörter, deren Erklärung wir in früheren Kapiteln zugeben Gelegenheit hatten. Vieleckszahlen anderer Art als die Quadrat-zahlen kommen bei Euklid nicht vor.
Das IX. Buch setzt gleichfalls denselben Gegenstand fort, gehtindessen dadurch wieder zu anderweitigen Betrachtungen über, dasses besondere Rücksicht auf etwa in einer Proportion vorkommende