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Kapitel XII.

Primzahlen nimmt. Bei dieser Gelegenheit wird niiuilicli ziemlichausser allem Zusammenhänge als 20. Satz bewiesen, dass die Mengeder Primzahlen grösser sei als jede gegebene Menge der-selben, wofür wir kürzer sagen, dass es unendlich viele Primzahlengibt. Noch weniger Zusammenhang ist von dem 20. Satze zu den ihmnachfolgenden Sätzen wahrnehmbar. Mancherlei Eigenschaften graderund ungrader Zahlen, von deren Summen und deren Produkten werdenerörtert, bis der 35. Satz die Summirung der geometrischenlteihe lehrt und auf diejenige geometrische Reihe angewendet, welchevon der Einheit beginnend durch Verdoppelung der Glieder weiter-schreitet, endlich im 36. Satze wieder zu den Primzahlen zurückführtund so das Bewusstsein erweckt, wie Euklid bei scheinbarem Ab-springen von seinem Thema es immer unverrückt im Auge behält.Jener 36. Satz gibt nämlich an, die Summe der Reihe 1 —j— 2 —f- 4 —J— 8 - - ■sei mitunter eine Primzahl. Dieses tritt z. B. ein, wenn die Reiheaus 2, aus 3, aus 5 Gliedern besteht. Werde diese die Summe dar-stellende Primzahl mit dem letzten in Betracht gezogenen Gliede derReihe vervielfacht, so entstehe eine vollkommene Zahl (eine Zahl,welche der Summe aller ihrer Theiler gleich ist).

Im X. Buche ist der dritte Haupttheil des euklidischen Werkesbehandelt, die Lehre von den Incommensurablen. An der Spitzedes Buches steht der Satz, welcher bei Euklid die Grundlage derExhaustionsmethode bildet, der Satz: „Sind zwei ungleiche Grössengegeben, und nimmt man von der grösseren mehr als die Hälfte weg,von dem Reste wieder mehr als die Hälfte und so immer fort, sokommt man irgend einmal zu einem Reste, "welcher kleiner ist alsdie gegebene kleinere Grösse.“ Dieser Satz, wesentlich verschiedenvon dem, dessen sich (S. 209) Eudoxus und vielleicht schon Hip-pokrates zu ähnlichen Zwecken bediente, ist in dieser Form vielleichtEuklids Eigenthum, vielleicht auch dessen, von welchem das X. Buchder Hauptsache nach herrülirt. Fürs Erste freilich zieht Euklid keineFolgerung aus ihm, nicht einmal die, welche man vor allen Dingenerwarten sollte, dass wenn zwei Grössen incouimensurabel sind, manimmer ein der ersten Grösse Commensurables bilden könne, welchesvon der zweiten Grösse sich um beliebig Weniges unterscheide. Btattdessen sind zwar geistvolle aber doch nach unseren Begriffen masslosweitläufige Untersuchungen darüber angestellt, unter welchen Voraus-setzungen Grössen sich wie gegebene Zahlen verhalten, also com-mensurabel sind, und unter welchen Voraussetzungen keine solcheZahlen sich finden lassen, die Grössen also incommensurabel

') Vergl. Nesselmann, Die Algebra der Griechen S. 165—182. Diesem Werkeentnehmen wir auch die Uebersetzungen der Namen der verschiedenen Formenvon Irrationalzahlen.