Kapitel XIV.

schriebenen Quadrate wird durch fortgesetzte Verdoppelung der Seiten-zahl ein umschriebenes Vieleck gefunden werden können, dessen In-halt V der Ungleichung K < V' < 1) genügen muss, während seinUmfang U' > 1’ ist, und die Senkrechte W vom Kreismittelpunkteauf die Seiten dieses Vielecks nothwendig h' = r sein muss. Trotz-dem müsste hier U ‘ -■ < - sein oder U' < P und doch auch*<£ <-

T j P

U' > 1\ Es bleibt also nur die Annahme K — J) = - ‘ - übrig. Frei-lich hat man die an die Spitze gestellte Voraussetzung, es gebe eineGerade von der Länge P, welche als Seite eines rechtwinkligenDreiecks auftreten könne, bemängelt. Wir erinnern daran, dass Dino-stratus die gleiche Annahme schon sich gestattet hatte (S. 213). AuchEutokius nimmt Archimed gegen den angeführten Vorwurf, welcherihm damals schon gemacht worden war, in Schutz. Er habe nichtsUnziemliches ausgesprochen. Die Kreislinie sei eine Grösse von be-stimmter Abmessung, der irgend eine Gerade gleich sein müsse, undes sei keineswegs unstatthaft, das Vorhandensein jener Geraden ineinem Satze vorweg zu benutzen, noch bevor man sie finden gelehrthabe. Allerdings ist nun diese Auffindung das nächste Problem undihm geht jetzt Archimed rechnend zu Leibe, nach einer Methode also,welche Euklid , wie wir (S. 233) besprochen haben, sich wahrschein-lich untersagt hätte, nicht geometrisch, sondern geodätisch. Archimed:sucht zwei Grenzen, zwischen welche er das Verhältnis der Kreis-

peripherie P zum Durchmesser d einschliessen will und findet

P: d < 3y : 1 und P : d > 3*® : 1.

Wir bemerken, dass Archimed bei seinem früheren Beweise

„ T)

K=-[ i von den Quadraten ausging, welche dem Kreise ein- und

umgeschrieben werden können, wie es (S. 234) Euklid im 12. Bucheder Elemente gethan hat um die Proportionalität von Kreisinhalt undDurchmesserquadrat festzustellen, wie es (S. 172) schon viel früherAntiphon gethan hatte. Bei der Aufsuchung der Zahlengrenzen fürdas Verhältniss des Kreisumfanges zum Durchmesser ging Archimeddagegen von einem ganz anderen Versuche aus, welcher die grössereGrenze ihm verschaffen sollte. Er benutzte dasjenige gleichseitigeDreieck, welches seine Spitze im Kreismittelpunkte besitzt, währenddie dritte dieser Spitze gegenüberliegende Seite Berührungslinie anden Kreis ist. Heisst die Seite dieses Dreiecks a, der Kreishalbmesser r,

so ist leicht ersichtlich a = und r : ~= ]/3 : 1. Archimed he-

V o “

hauptet ohne weitere Begründung, es sei r : — > 205 : 153 und wirk-

lich ist S ) 2

70 22523 409

Ferner ist a

also }/'.’> >