Archimedes und dessen geometrische Leistungen.

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Die beiden letzterwähnten Sätze haben, wie uns scheint, einebesondere Tragweite durch die Ziele, auf welche Archimed mit ihrerHilfe hinsteuerte. Bei dem 8. Satze, glauben wir, dachte er an diezu vollziehende Dreitheilung des Bogens AE. Sie war vermögeseines Satzes gelungen, sobald man eine Sehne AB versuchsweisefand, deren Verlängerung bis zur Verbinduugsgeraden von E mitdem Kreismitteljiunkte A die Länge des Kreishalbmessers besass.Die vorerwähnte Quadratur des Salinon im 14. Satze wird wohl nichtminder richtig dahin aufzufassen sein, dass Archimed im Anschlüssean die Arbeiten des Ilippokrates von Chios geometrisch versuchte,den Flächeninhalt des Kreises mit dem anderer Figuren in Gleichheitzu setzen. Nur war vielleicht die Absicht beider die entgegengesetzte.Ilippokrates wollte zuverlässig aus den dem Kreise gleichen Figurendie Fläche des Kreises ermitteln. Archimed beabsichtigte möglicher-weise anderweitige krummlinig begrenzte Figuren auf den als bekanntvorausgesetzten Kreis zurückzuführen.

Bekannt war ihm nämlich allerdings der Kreis durch seine Kreis-messung. Diese merkwürdige Abhandlung ist nach ihrem geome-trischen Gehalte wie mit Hinsicht auf die Geschichte des Zahlen-rechnens der höchsten Beachtung werth. Wir haben es für’s Erste nurmit dem Geometrischen zu thun. Archimed geht davon aus, dass erbeweist, der Kreis sei einem rechtwinkligen Dreiecke gleich, desseneine Kathete die Länge des Halbmessers, die andere die des Kreis-umfaugs besitzt. Wäre dieses Dreieck kleiner als der Kreis, so müssteirgend ein angebbarer Unterschied vorhanden sein, und es wäre mög-lich durch Einzeiclmuug eines Quadrates in den Kreis und fortgesetztellalbirung der Bogen ein Vieleck zu erlangen, welches den Kreis bisauf gewisse kleine Abschnitte erfüllte, deren Summe endlich kleinerals jener Ueberschuss des Kreises über das Dreieck wäre. Nenntman etwa K , F, I) die Inhalte des Kreises, des Vielecks, des Drei-ecks, so wäre mithin K > F > D, zugleich aber U < V sofern JJden Umfang des Vielecks, 1‘ die Kreisperijiherie bedeutet, und zwarbegründet sich diese letztere Ungleichung aus jener Annahme überdie Gerade als kürzeste Entfernung zweier Punkte, von der oben dieliede war. Nun ist F gleich einem rechtwinkligen Dreiecke, welchesals grössere Kathete U, als kleinere die Senkrechte h besitzt, die vomKreismittelpuiikte aus auf irgend eine Seite des Vielecks gefällt war,und die selbst kleiner als der Kreishalbmesser r sein muss. Mit

anderen Worten V = -.j-, 1) = und wegen F> D auch

U . h > P . r, während jeder Faktor des grösseren Produktes kleinerist als ein ihm entsprechender Faktor des kleineren Produktes, unddarin liegt ein Widerspruch. Zu einem ferneren Widerspruch führtauch die Annahme K < 1). Ausgehend von dem dem Kreise um-

I’antou, Geschichte der Mathem. I. 17