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Kapitel XIV.

r : U M ' > 4073 ‘ : 29370und schliesst daraus umgekehrt

U m ':d< 14 688: 4073-J <3j : 1,

da aber F < i/ 98 ' ist, so muss um so sichererF : d < 3 y : 1 sein.

Nun kommt die entgegengesetzte Aufgabe, eine untere Grenzefür das Verhältniss des Kreisumfanges zum Durchmesser zu findenan die Reihe, und hierzu nimmt Archimed die dem Kreise ein-geschriebenen Vielecke zu Hilfe, indem er, wie Antiphon bei einemseiner Versuche, das eingeschriebene gleichseitige Dreieck zum Aus-gange wählt, dessen Seite sich zum Halbmesser verhält wiej/3 : 1, d. h. < 1351 : 780. Winkelhalbirungen u. s. w. führenhier zu

U m :d> 0330 : 2017 3g: 1

und um so gewisser zu F : d > 3 g : 1.

Nächst dem Kreise beschäftigte sich Archimed bei seinen geo-metrischen Untersuchungen mit den Kegelschnitten. Mat hat wohlangenommen, Archimed habe eine uns verloren gegangene SchriftElemente der Kegelschnitte, droi^f« xcovixu, verfasst. Manhat sich dabei auf zwei Stellen gestützt, die eine in der Abhandlungüber die Quadratur der Parabel Satz 3.'), die andere in dem Buchvon den Konoiden und Spluiroiden Satz 4. i) 2 ), in welchen Archimed aufein solches Werk verweist ohne einen Verfasser zu nennen. Dasthat, sagt man, Archimed nur, wo er auf eigene Arbeiten zurückgrifl.So richtig diese Behauptung im Allgemeinen ist, so erinnern wir unsdoch einer Ausnahme. Archimed beruft sich, wie wir (S. 224) her-vorgehoben haben, im 0. Satze des ersten Buches über Kugel undCylinder 3 ) auf die Elemente und meint damit den Elementenschrift-steller, der vorzugsweise diesen Namen geführt hat, Euklid . Möglich,dass er denselben im Sinne hatte, als er von Elementen der Kegel-schnitte sprach, da Euklid bekanntlich auch über diesen Gegenstandein Werk verfasst hat. Vielleicht ist eine kleine Bestätigung dieserVermuthung folgendem Umstande zu entnehmen. Pappus gibt näm-lich an, die vier ersten Bücher der Kegelschnitte des Apollonius,mit welchen wür uns bald zu beschäftigen haben, stützten sich wesent-lich auf die Vorarbeiten Euklids . Bei Appollonius finden wir aber

i) Archimed (ed. Torelli) 19, (ed. Nizze) 13. ’) Archimed (ed.

Torelli) 265, (ed. Nizze) 158. 3 ) Archimed ed. Torelli) 75, (ed. Nizze) 48.