Archimcdcs und dessen geometrische Leistungen.
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I, 20, 35, 46; II, 5; III, 17, 1<S, die Lehrsätze, welche Archimed als inden Elementen der Kegelschnitte enthalten benutzt.
Mag dem sein, wie da wolle, jedenfalls rühren werthvolle Einzel-untersuchungen über Kegelschnitte von Archimed her, unter welchenseine Quadratur der Parabel obenansteht. Wir haben schon ge-sagt, dass diese Abhandlung zwischen die beiden Bücher vom Schwer-punkte und dem Gleichgewichte der Ebene eingeschaltet erscheint.Die M ethode, deren Archimed sich bedient, um zu seinem Ziele zu ge-langen, ist ihren Hauptzügen nach folgende. Q Wird ein Parabelabschnittdurch eine durch die Mitte der denselben bildenden Sehne der Axeparallel gezogene Gerade geschnitten, so ist die Berührungslinie andie Parabel in dem Schnittpunkte der Sehne selbst parallel. Somitist die Senkrechte aus diesem Schnittpunkte auf die Sehne die grössteSenkrechte, welche überhaupt aus einem Punkte innerhalb des ge-gebenen Parabelbogens auf die Sehne gefällt werden kann, oder dieserPunkt ist als höchster Punkt des Parabelabschnittes über seiner Sehnezu bezeichnen. Daraus folgt weiter, dass der Parabelabschnitt durch-aus eingeschlossen ist in dem Rechtecke, welches jene Senkrechte alsHöhe, die Sehne liebst der ihr parallelen Berührungslinie als Grund-linie besitzt. Bildet man nun das Dreieck, welches die Sehne zurGrundlinie, den genannten Höhepunkt als Spitze besitzt, und welchesfolglich von dem ersten Parabelabschnitte um zwei neue kleinere Ab-schnitte sich unterscheidet, so muss dasselbe als Hälfte des Recht-eckes und als eingeschrieben in den Parabelabschnitt grösser sein alsdie Hälfte des Abschnittes, kleiner als sein Ganzes. Man kann aberauch die umgekehrte Folgerung ziehen und die Fläche des Abschnittesgrösser als das betreffende Dreieck, kleiner als das Doppelte desselbennennen. In jeden der beiden neuen kleineren Abschnitte wird nachähnlicher Regel wieder ein Dreieck beschrieben, deren jedes mehrals die Hälfte des ihn enthaltenden Abschnittes einnimmt und genauden achten Theil des ersten Dreiecks als Flächeninhalt besitzt. Der
Parabelabschnitt wird dadurch in zweiter Annäherung grösser als 1 j,
kleiner als 1 * des ersten Dreiecks, welches ihm eingezeichnet worden
war. Nun werden in die neuen immer kleineren Parabelabschnittewieder neue Dreiecke beschrieben und dem eben Behaupteten ähnlicheFolgerungen gezogen. Nach heutiger Schreibweise kommt die Reihen-folge der so zu gewinnenden Sätze auf die Summirung der unendlichen
Reihe 1 -f- j -f- (|) 2 -{- (i) 3 + . . . hinaus, deren Anfangsglied 1
den Flächeninhalt des ersten Dreiecks, deren Summe den Flächen-inhalt des ganzen Parabelabschnittes darstellt. Archimed, freilich das
') Archimed (cd. Torelli) 30—34 (cd. Nizze) 22—25.