Archimedes und dessen geometrische Leistungen.

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Archimed hat in demselben Werke über Kugel und Cylinder, im4. und 5. Satze des II. Huches 1 ), noch zwei andere die Kugel be-treffende Aufgaben gestellt, welche ihn geraume Zeit beschäftigten.Eine Kugel soll durch eine Ebene der Art geschnittenwerden, dass Oberflächen und Körperinhalte der beidenso gebildeten Kugelabschnitte in gegebenem Verhältnissestehen. Die erstere Aufgabe hat, sofern die Berechnung der Kugel-calotte vorher bekannt ist, wie es der Fall war, keine Schwierigkeit;sie führt alsdann auf eine rein quadratische Gleichung. Anders ver-hält es sich mit der zweiten Aufgabe. Sie ist nur dann lösbar,wenn, wie Archimed ausdrücklich sagt, eine Länge gefunden werdenkann, welche in die Proportion sich einfügt, die in Huchstaben(a — x) : b — c 2 : x- lauten würde, wenn also eine Lösung der kubi-schen Gleichung x 3 — ax l -f- bc 1 — 0 gefunden werden kann. Archi-med geht nun noch einen grossen Schritt weiter, er gibt denDiorismus der Aufgabe. Sie sei, sagt er, nicht allgemein möglich,

sondern unter der Voraussetzung c = 2 (a — c) nur bei Anwendung

eines a — c, welches selbst grösser als b ist. Mit anderen Worten

er nennt die Gleichung x z — ax 2 i a l b = 0 lösbar d. h. mit

einer positiven Wurzel versehen, so lange b < ~ Beides, so fährt

Archimed fort, d. h. die Nothwendigkeit des Diorismus und zugleichdie Construction der Aufgabe unter der Annahme, dass jene Be-dingung erfüllt sei, solle am Ende seine Analyse und Synthese finden.Es ist undenkbar, dass Archimed eine so bestimmte Zusage gegebenhaben sollte, wenn er nicht der gestellten Aufgabe in jeder BeziehungHerr gewesen wäre. Aber wo sind die versprochenen Ergänzungen?Schon sehr bald nach Archimed zur Zeit des Diokles waren sie ver-loren, wie wir im 17. Kapitel sehen werden. Ob eine von Eutokiusim VI. S. aufgefundene alte Handschrift in dorischer Mundart wirk-lich, wie er vermuthete, der Originalarbeit des Archimed nachgebildetwar, ist mit Bestimmtheit nicht zu behaupten noch zu leugnen. AnWahrscheinlichkeit fehlt es übrigens der Vermutliung des Eutokiusum so weniger, als jene Auflösung sich zur Construction nur einerParabel und einer Hyperbel bedient, mithin Curven benutzt, welchezur Auflösung einer anderen räumlichen Aufgabe, der Würfelver-doppeluug, ziemlich lange vor Archimed, wie wir wissen, bereits inAnwendung waren.

Mit der Geometrie des Raumes hat es ferner das Buch vonden Konoiden und Sphäroiden zu thun. Archimed kennt unterdiesen Namen die Körper, welche durch die Umdrehung einer Parabel,einer Ellipse, einer Hyperbel entstehen. Er theilt diese Umdrehungs-

') Archimed (ed. Torelli) 155 sqq., (ed. Nizze) 91 flgg.