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Kapitel XV.

2 (na) 2 = (na) 2 -{- (na) 2 und ordnet die quadratischen Glieder erstfallend dann steigend, und die doppelten Produkte nach fallendemerstem Faktor, so entsteht (n -f- 1) (»«)’ = (»fl) s + ((»— 1) «)*+ ((» - 2) a) 2 + . . . + (la) 2 + (la) 2 + . . . + ((» - 2) af-f- ((w — 1) a) 2 + (wo) 2 -f- 2 [(w — 1) a . ln + (w — 2) a . 2a-f- 1 a (n — 1) n], Addirt man ferner auf beiden Seitenn (n + 2 a w a), so erhält man (n -f- l) (w n) 2 + « (o + 2 o +...

+ wn) = 2 ja 2 + (2a) 2 + ... + (wa) 2 ] -f- 2 [(w — 1) n . 1 n -(- (w — 2)o . 2a + . • • + 1 a • (w — 1) o] + a [a + 2o -f- wa]. Damit

der zu Anfang ausgesprochene Satz bewiesen sei, bedarf es also nurnoch Eines: es muss gezeigt werden, dass a 2 -f- (2a) 2 + •• • + (wo) 2 =2 [(n — 1) a . ln -f (w — 2) a . 2n -f- .. . + ln . (w — 1) n] -fa\a-\-2a -f- ... -f- na ] sei. Die beiden Ausdrücke rechts vomGleichheitszeichen sind aber a . A und n . B oder vereinigt n (A -f- B),wobei

A = 2 (n — 1) o + 4 (w — 2) o + • • • + (2 n — 2). ln

B = na -f- (w — 1) o + (w — 2) ln

A + l’> = 1 • wn + 3 . (w — 1) n + 5 . (n — 2) a + ... -f-(2 n — 1). 1 n(A -)- B ). n = a [ 1. n a + 3. (» — 1) n + ». (w — 2) n -f... -(- (2w— 1). 1«] = J{Von den n Quadraten, als deren Summe 11 zu beweisen ist, wird nundas höchste (wn ) 2 umgeformt in n (1 . wn + (w — 1) wn). Aber diearithmetische Reihe (w— 1) n -f- (w — 2) a + ... + ln hat als Summe

- 1 .] U > e > ue Formel, welche demnach, wie oben angekündigt,von Archimed benutzt wird. Demnach ist (w — 1) wn = 2 [(w— l)n-f- (« — 2) n + • •. + lo] u n4 (wn ) 2 = n [1 . na -f- 2 (w — 1) a+ 2 (w — 2) a + • • • + 2 . la]. Ziehen wir diesen Werth von liab, so bleibt ein Rest Ii i ähnlicher Form wie B, nämlich n [l.(w— 1) n+ 3 (w — 2) n +•• • + (2w — 3) . ln] = ll r Nun könnte ((w — 1) a'fumgeformt und von JZ, abgezogen werden, wodurch ein Rest Il. 2 ent-stünde, dem gegenüber das Verfahren fortzusetzen ist. Schliesslichbleibt Nichts übrig, es ist also n 2 + (2n) 2 + ... -f- (wn) 2 = li, wiezu beweisen war.

Wir haben vorher bei der archimedischen Aufgabe von der durcheine Ebene geschnittenen Kugel die cubische Gleichung x :i — ax 2

-)- ~ n 2 1) = 0 angeschrieben (S. 2GÖ), zu welcher diese Aufgabe führt.

Wir haben dieses zur deutlicheren Einsicht in die Frage für unserean die Gleichungsform gewohnten Leser getlian. Man muss sichjedoch wohl hüten das, was wir dort thaten, als den gleichen Ge-sichtspunkten entsprechend zu betrachten, wie das, was uns beiunserer letzten Darstellung der Summirung aufeinanderfolgender