Die übrigen Leistungen des Archimedes.

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nachzurühmen. Er hat nämlich in dem Buche von den Schnecken-linien die Summirung der auf einanderfolgeiiden Quadrat-zahlen von 1 anfangend gelehrt und bewiesen. Er kleidet dieSummenformel in folgenden Satz: „Wenn man eine willkürliche An-zahl von Linien annimmt, die nach einander gleiche Unterschiedehaben, so dass die kleinste dem Unterschiede selbst gleich ist, undwenn eine eben so grosse Anzahl anderer Linien angenommen wird,welche einzeln der grössten von jenen gleich sind, so wird dieSumme aller Quadrate von denen, welche der grössten gleich sind,nebst dem Quadrate der grössten selbst und dem Rechtecke unterder kleinsten und einer Linie, welche so gross ist als die Summealler um gleiche Unterschiede verschiedener, dreimal so viel be-tragen als die Summe aller Quadrate der um gleiche Unter-schiede verschiedenen Linien.“') In Zeichen geschrieben heisst das3 [a 2 -f (2a) 2 +(3a) 2 -J-... + (»«)' 2 ] = (n + 1) (na) 2 + a (a + 2a +‘da -f- ... -j- na). Da Archimed, wie aus dem Beweise sich ergebenwird, dieSuinmenformel der arithmetischen Reihe anzuwenden wusste, soist es einigermassen auffallend, dass er nicht a -j- 2a -f- 3a -(-... -\-na zu

n - 1 — a vereinigte, um schliesslich a 2 -f- (2a) 2 -f- (3a) 2 -f- ... -f- (na) 2

= + 1 J a _ zu er h a lten. Wir erkennen daraus, dass ein

so lautender Satz bei Archimed nicht vorkommt, wie sehr man sichhüten muss den Schluss, dieser oder jener Schriftsteller konnte sooder so schliessen, hat es also getlian, anzuwenden, wenn nicht be-sondere anderweitige Gründe für jenen Schluss vorhanden sind.Noch eine Bemerkung drängt sich auf. Wir sagten Archimed habedie Summirung der Quadratzahlen vollzogen, und in dem Wortlauteseines Satzes, wie seines Beweises, kommen nur Linien vor. Alleines sind uuzusammenliängende Linien, wie sie im V. Buche der eukli-dischen Elemente zur Versinnlichung von Zahlen dienen, und habenhier gleichfalls keine andere Bedeutung. Wir lassen nun den Be-weis folgen, an welchem wir keine andere Veränderung vornehmen,als dass wir Arcliimeds Worte in Zeichen übersetzen. Es istna = (n — 1) a + la = (n — 2) a + 2a = (« — 3) a -|- 3a = ... =1 a -)- (n — 1) a. Quadrirt man alle diese unter sich gleich-werthigen Formen von na, so erhält man ebensoviele verschiedene Formenvon ( na ) 2 , nämlich (na)' 1 =((«— 1) a) 2 -j- (la) 2 -f- 2 . (»— I) a . la= ((» - 2) a) 2 + (2a) 2 + 2 (» — 2) a.2a = ((» — 3) a) 2 + (3 a)*+ 2 . (« — 3) a . 3a = ... = (1 a) 2 + ((w — 1) a) 2 -(- 2 . \a.{n — l)a..Jede solche Form besteht aus zwei quadratischen Gliedern und einemdoppelten Produkte. Addirt man die sämmtlichen Formen nebst

') Archimed (ed. Torelli) 220—228, (ed. Nizze) 125—128.