Die übrigen Leistungen des Arcliimedes.

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Quadratzahlen leitete. Wir haben hier nur Zeichen statt der Wortegesetzt, den archimedischen Gedanken in keiner Weise verändernd.Wir haben dort eine Gleichung aus einer Proportion entwickelt.Archimed hätte eine solche Entwicklung dein ganzen Zustande derdamaligen Wissenschaft gemäss, welche Körperzahlen kannte, vor-nehmen können, aber er hat# es nicht gethan. Er blieb bei der

Proportion (« — x) : b = — a 2 : x 2 stehen, und wir würden in ihn

hineinlesen, was er nicht gewusst zu haben scheint, wenn wir auchnur annähmen, Archimed habe eine wesentliche Aehnlichkeit zwischenseiner Aufgabe und der Aufgabe der Würfelverdoppelung, geschweigedenn zwischen ihr und der Aufgabe der Winkeldreitlieilung bemerkt.Die Würfelverdoppelung verlangte die Einschaltung zweier geome-trischer Mittelglieder zwischen gegebenen Grössen; von einer der-artigen Einschaltung ist bei der archimedischen Kugeltheilung nichtdie Rede, mag man auch, um die Unbekannte nach innen zu bringen,

4 a 2

die Proportion in der Form b : (a — x) = x 2 : ■ oder in der Form

b : x‘ = (a — x) : 4 ^- schreiben.

Wir müssen hier vielleicht einem Vorwurfe begegnen, den manuns darüber machen könnte, dass wir, als w r ir es mit Euklid unddessen durch quadratische Gleichungen darstellbaren Aufgaben zu thunhatten, nicht auch so streng an den Wortlaut des griechischen Schrift-stellers uns halten zu müssen glaubten. Wahr ist es, es wäre vor-sichtiger gewesen auch dort nicht als Gleichung zu schreiben, wasnur eine Proportion war, allein wir können doch Einiges hervor-heben, welches einen grundsätzlichen Unterschied zwischen der eukli-dischen und der archimedischen Aufgabe bedingt und dadurch aucheine formelle Verschiedenheit der Darstellung gestattet, ganz ab-gesehen davon, dass wir wenigstens nicht versäumt haben (S. 245),unsern Zweifel darüber zu äussern, ob Euklid eine Ahnung von demalgebraischen Inhalte seiner Aufgaben gehabt habe. Quadratischeund kubische Aufgaben — mau gestatte uns diese leicht ver-ständlichen, wenn auch sonst nicht grade üblichen Benennungen —sind geometrisch gewaltig verschieden. Die quadratische Aufgabegehört den Elementen in dem geometrischen Sinne des Wortes an.Sie lässt sich, sofern Nichtbeachtung des Diorismus nicht Grössenals gegeben wählen liess, welche jede reelle positive Lösung aus-schliessen, jedesmal durch Zirkel und Lineal bewältigen. Die kubischeAufgabe ist durch die Elemente nicht lösbar. Sie bedarf besondererCurven, deren Eigenschaften in besonderen Schriften erörtert zurZeit, als Archimed lebte, überhaupt erst anfingen genau studirt zuwerden und die höhere Geometrie bildeten. Man darf daher wohleinen Unterschied machen zwischen der Tiefe, bis zu welcher Euklid