272

Kapitel XV.

und Archimed in das eigentliche Wesen quadratischer und kubischerAufgaben einzudringen vermochten. Daneben ist auch für rechnendesVerfahren ein nicht minder gewaltiger Unterschied zwischen quadra-tischen und kubischen Aufgaben, die einem Griechen gestellt waren.Die Ausziehung der Kubikwurzel durch Umkehrung des Verfahrens,welches zur Erhebung auf die dritte Potenz führt, also von derFormel (« + ß) 3 = « 3 + 3ß 2 /i + 3aß 2 -f- /P ausgehend, hat, wiewir vorgreifend bemerken dürfen, kein griechischer Schriftsteller desAlterthums oder des Mittelalters jemals gelehrt; ob ein anderesKechnungsverfahren zu dem gleichen Zwecke angewandt ■wurde,müssen wir hier noch dahingestellt sein lassen. Eine Ausziehungvon Quadratwurzeln dagegen durch Rechnung, und zwar auch beisolchen Zahlen, welche nur eine Annäherung an den wahren Werthgestatten, hat die griechische Mathematik vielleicht, wie wir (S. 191)sahen, schon seit Platon besessen, jedenfalls hat Archimed in seinerKreismessung den Re weis geliefert, dass er im Besitze sehr voll-kommener Methoden zur Auffindung solcher Wurzelwerthe gewesensein muss. Damit ist aber, wie zum Schlüsse dieser Ausführungenhingeworfen werden mag, zugleich auch die Möglichkeit, vielleichtdie Wahrscheinlichkeit gegeben, dass man in sehr früher Zeit beiden Griechen quadratische Aufgaben rechnend löste, d. h. thatsächlichmit quadratischen Gleichungen sich beschäftigte, denn wie wäre man sonstzu Methoden der Quadratwurzelausziehung gelangt, die das leisteten,was z. B. von Archimed, zu dessen Arbeiten wir so zurückkehren,geleistet worden ist?

Archimed hat in seiner Kreismessung eine ganze Anzahl vonangenäherten Quadratwurzeln berechnen müssen. Er hat dabei

erkannt, dass > j/3 > , dass // 849 450 >591 ' , dass

j /1373 943 JJ- > 1172 1 , dass j/b 472 132 ^ > 2339 J • Wie hat

er diese Zahlen gefunden? Die Frage ist vielfach aufgeworfen, ver-schiedentlich beantwortet worden. 1 ) Man kann wohl sagen, dasssämmtliche Versuche in einem Punkte Zusammentreffen, nämlich indem Bestreben ein mehr oder weniger bewusstes Zusammentreffender Methode des Archimedes mit dem modernen Kettenbruchverfahrennachzuweisen, d. h. mit den Formeln

■) Die letzte Zusammenstellung der auf diesem Gebiete ausgesprochenenMeinungen bei S. Günther, Antike Näherungmethoden im Lichte modernerMathematik (in den Abhandlungen der k. böhmischen Gesellschaft der Wissen-schaften VI. Folge, 9. Band, Prag , 1878) und bei IIeiberg, Quaestiones Archi-medeae 00—G6. Bei Letzterem auch das bei dem F.rsteren fehlende Referatüber Abhandlungen von Mollweide (1808) und Oppermann (1875). Ueberdie Abhandlung Mollweide’s vergl. auch einen Bericht von Gauss in denGöttinger gelehrten Anzeigen vom 9. Januar 1808.