Die übrigen Leistungen des Archimedes.

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punkten B und F an dem Wagbalken J3F aufgeluiugt gedacht. Eswird gezeigt, dass dieses Dreieck mit einer in A aufgehiingten FigurZ in Gleichgewicht ist, wenn Z der dritte Theil des Dreiecks rAHist. Des Weiteren wird ^Figur 49) ein Paralleltrapez aufgehängt ge-dacht, dessen nicht parallele Seitensich in F schneiden, während dieparallelen Seiten senkrecht gegenden Wagbalken sind. Für diediesem Trapeze AK PT bei A dasGleichgewicht haltende Figur Z wirdbewiesen, dass sie zwischen zwei

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Bll,

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Fig. 49.

Grenzen, dem - ^ und dem ß r fachen

des Trapezes enthalten ist. Jetztgeht Archimed ( Figur 50) zur Auf-hängung eines Parabelabschnittesüber. Er hat schon im Eingängeder Abhandlung einige Eigenschaf-ten dieser Curve erwähnt. Er zeigtnun, dass wenn die den Abschnittbildende Sehne B F in beliebig vielegleiche Theile getheilt wird, wennaus jedem Theilpunkte eine Parallelezu K A und aus den Schnittpunktendieser Parallelen mit der ParabelVerbindungslinien nach F gezogenwerden, welche man noch jenseitsdes Parabelpunktes bis zur nächstenParallelen verlängert, der Parabel-abschnitt alsdann als zwischen zwei Summen von trapezartigen Stückenenthalten sich kundgibt. Durch Aufsuchung der jedem Trapezchenin A das Gleichgewicht haltenden Figur, sowie durch Verbindung derbeiden genannten Gleichgewichtssätze für das Dreieck und das Trapezergibt sich endlich der Parabelabschnitt als Drittel des grossen Drei-ecks BTA. Andrerseits ist unter der Voraussetzung, es sei EM®die der B F parallele Berührungslinie an die Parabel, M die Mitte vonHA, II die Mitte von BT und A die Mitte von Fz/, folglich

Kig. 50.

Daraus ergibt sich, dass der Parabelabschnitt ~ des

4 o / ^

kleinen Dreiecks BMT ist, wie erwiesen werden sollte. ImII. Bliche des Gleichgewichts der Ebenen geht dann Archimed dazuüber, den Schwerpunkt des parabolischen Abschnittes zufinden.

Noch gewaltiger förderte Archimed die Erkenntniss der Gesetze