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eck des Parameters mit der grossen Axe zu verstehn, oder, was demWerthe nach gleichbedeutend ist, das Quadrat der kleinen Axe.Wenn man das Stück einer Beriikrungslinie, welches zwischen denbeiden Senkrechten zur grossen Axe in den Endpunkten derselbenabgegrenzt ist, zum Durchmesser eines Kreises nimmt, so schneidetdieser Kreis die grosse Axe in den Brennpunkten. Die4 Punkte, welche der Art bestimmt sind, nämlich 2 Brennpunkte und2 Punkte einer Berührungslinie werden paarweise verbunden, je einPunkt der Berührungslinie, mit dem einen, der andere mit dem anderenBrennpunkte. Diese Verbindungsgrade nennt man conjugirteLinien. Sie schneiden einander auf der Normallinie, d. h. aufder Senkrechten, welche zur Berührungslinie im Berührungspunkteerrichtet ist. Nun folgt der Satz über Winkelgleichh-cit fürdie Winkel, welche die Normallinie mit den beiden Brennstrahlen desBerührungspunktes bildet; ferner der Satz, dass die Fusspunkte derSenkrechten von den Brennpunkten auf Berührungslinien siimmtlicliin einer um die grosse Axe als Durchmesser beschriebenen Kreis-peripherie liegen; endlich der Satz von der constanten Summe,beziehungsweise Differenz der Brennstrahlen. Alle diese Wahr-heiten entwickelt Apollunius der Reihe nach in dem 111. Buche, welchesdadurch fast für sich allein den Charakter einer elementaren Kegel-schnittslehre gewinnt.
Waren die drei ersten Bücher dem Eudemus gewidmet, so be-ginnt das IV. Buch mit einem Sendschreiben an Attalus, in welchemder Tod jenes Freundes beklagt, nebenbei aber auch der Inhalt desbeigefügten Buches kurz dahin bezeichnet wird, es beschäftige sichmit der Frage, wie viele Punkte Kegelschnitte mit Kreis-peripherien und mit anderen Kegelschnitten gemein habenkönnen ohne ganz und gar zusammenzufallen. Apollonius weissdabei sehr wohl eine Berührung von einer üurchschneiduug zuunterscheiden. Er hebt z. B. hervor, dass 2 Kegelschnitte 4 Durch-schnittspunkte haben können, oder 2 Durchschnittspunkte und 1 Be-rührungspunkt oder 2 Berührungspunkte; ferner dass 2 Parabeln nur1 Berührungspunkt haben können, ebenso Parabel und Hyperbel,wenn die Parabel die äussere Curve ist, ebenso Parabel und Ellipse,wenn die Ellipse die äussere Curve ist u. s. w.
Es ist einleuchtend, dass die Sätze dieses IV. Buches für dieGriechen eine viel höhere Bedeutung hatten als für neuere Mathe-matiker. Waren es doch grade die Durchschnittspunkte der Curven,deren zum Zwecke der Würfelverdoppelung nothwendige Ermittelungdie Curven selbst hatten untersuchen oder gar erfinden hissen. DieMethode, nach welcher Apollonius die Punkte bestimmt, welche zw r eiCurven gemeinsam sind, kommt auf eine apagogische Beweisführunghinaus, die sich grossentheils auf das Lemma des III. Buches bezüg-