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292 Kapitel XVI.

Abschnitt, dessen Charakter schon in dem 1. Satze sicli dahin aus-weist, dass liier Verhältnisse von Produkten aus Tangentenund Sekanten der Kegelschnitte auftreten. Jener erste Satzheisst etwa folgendermassen: Es seien ilf, und M 2 zwei Punkte einesKegelschnittes, dessen Mittelpunkt in 0 liegt (bei der Parabel wäre0 unendlich entfernt, und somit die OM t mit 0 M 2 und mit derAxe der Parabel parallel); die Berührungslinien in beiden Punktenseien J/, T, und ÄI 2 T 2) indem T, den Durchschnitt der Berührungs-linie an il/, mit der OM 2 bezeichnet, und eine ähnliche Definitionfür T 2 gilt; die M t T t und die M 2 T 2 schneiden einander in 11. Als-dann sind die Dreiecke il I x T 2 li und M 2 l\li flächengleich. Die'folgenden Sätze stützen sich auf diesen ersten, und lassen sich, in>s8“vielfältiger Theilung sie auch im Originale ausgesprochen sind,in zwei Hauptsätze zusammenfassen. Der eine Satz, dass, wenn voneinem Punkte zwei Sekanten gezogen werden, das Produkt der Ent-fernungen des Ausgangspunktes nach den beiden Schnittpunkten dereinen Sekante dividirt durch dasselbe Produkt in Bezug auf diezweite Sekante einen Quotienten gibt, der sich nicht verändert, wennman von irgend einem anderen Ausgangspunkte ein den erstenSekanten paralleles Sekantenpaar coustruirt. Der zweite Satz, dasseine Sekante, aus deren einem Punkte man zwei Berührungslinienzieht, durch diesen Ausgangspunkt, den Durchschnitt mit der Be-riihrungssehne und die beiden Durchschnittspunkte mit dem Kegel-schnitte eine harmonische Theilung darbietet.') Noch einige auf Flächenbezüglich^ Wahrheiten schliessen sich ziemlich naturgemäss an, wiez. B. dass die Dreiecke, welche durch die Asymptoten und irgendeine Berührungslinie der Hyperbel gebildet werden, einen constantenFlächeninhalt haben, da derselbe Satz, anders ausgesprochen, dahingehen würde, dass jede Berührungslinie der Hyperbel auf denAsymptoten Stücke von constantem Produkte absehneide. Alsdannkommt der Verfasser in dem 45. Satze zu den Punkten, welche erGtjuda ix irjg naQaßoXijs nennt, eine Bezeichnung, welche schwierigzu verdeutschen ist, da Punkte, die bei der Anlegung ent-stehen, kaum den Anspruch erheben können, nur einigermasseneinen Begriff“ davon zu gewähren, welche Punkte gemeint sind; essind aber die Brennpunkte der Ellipse und Hyperbel, während derBrennpunkt der Parabel in dieser Zeitperiode noch nicht vorkommt.Die Definition der Brennpunkte bei Apollonius und die Eigenschaften,welche er besonders hervorhebt sind folgende: ein Brennpunkt istein Punkt, der die grosse Axe in zwei Theile theilt, deren Rechteckeinem Viertel der Figur gleich ist; unter Figur aber ist das Recht-

') Apollomus benutzt dabei allerdings noch nicht das Wort: harmonischeTheilung sondern schreibt den Satz als Proportion.