Kratobtlienes. Apollonius von Pergii.

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was zu glauben man doch nicht wagen darf, dass Apollonius irgendgeheime Methoden besass, um diejenigen Sätze zu entdecken, derenkünstliche Beweise er erst nachträglich aufsuchte. Was Apollonius aus der Lehre vom Grössten und Kleinsten kennt, das sind, wie ge-sagt, insbesondere die längsten und kürzesten Linien, welche ausirgend einem Punkte der Ebene nach einem Kegelschnitte gezogenwerden können, Linien, welche Apollonius zuerst für die Fälle be-stimmt, in denen der gegebene Punkt auf der Axe liegt, und dieConstruction durch Abschnitte erfolgen kann, die selbst auf der Axedes Kegelschnittes auftreten. Dann folgt eine Reihe von Sätzen, dieetwa mit dem modernen Begriffe der Subnormalen sich beschäftigen.Die Constanz dieser Strecke bei der Parabel wird bewiesen. Spätergelangt Apollonius zu dem Nachweise, dass die am Anfänge desBuches besprochenen grössten und kleinsten Linien Normallinien zumKegelschnitte sind, dass also auch die Aufgabe im Früheren zurLösung vorbereitet ist: von irgend einem Punkte einer Ebene Nor-malen zu einem in der Ebene befindlichen Kegelschnitte zu zeichnen.Er geht an die Aufgabe selbst heran und findet eine Construction,bei welcher von Durchschnitten mit Hyperbeln Gebrauch gemacht ist.Indem er nun sich bewusst wird, dass in der Zahl der Senkrechten,welche von einem Punkte aus nach einem Kegelschnitte gezogenwerden können, keine Willkür herrscht, dass dieselbe vielmehr eines-theils von der Art des Kegelschnittes, anderntheils von der Lagedes gegebenen Ausgangspunktes abhängt, findet er, dass in dieser Be-ziehung gewisse Punkte eine Ausnahmestellung einnehmen. DiesePunkte, ifus welchen man nach dem gegenüberliegenden Tlieil desKegelschnittes nur eine Normale ziehen kann, sind die Krümmungs-mittelpunkte, deren Vorhandensein somit Apollonius bekannt war, sofremd ihm der Begriff der Krümmung geblieben ist. Möglicherweiseist es sogar nicht zu weit gegangen, wenn man annimmt, Apollonius habe die stetige Aufeinanderfolge der Krümmungsmittelpunkte geahnt,d. h. jene Curve geahnt, wenn auch nicht untersucht, welchewegen anderer Eigenschaften den Namen der Evolute erjialten hat.

Das VI. Buch handelt von gleichen und ähnlichen Kegel-schnitten, sofern dieselben auf graden einander ähnlichen Kegelnauftreten. Am Schlüsse wird sogar die Aufgabe behandelt, durcheinen gegebenen Kegel eine Schnittfläche zu legen, welche eine gleich-falls gegebene Ellipse erzeugen soll.

Zwischen dem VII. und dem VIII. Buche scheint wieder ein engererZusammenhang stattgefunden zu haben, wie uns Apollonius selbstversichert. In seiner Zuschrift sagt er, das VII. Buch beschäftige sichmit Sätzen, welche zu Bestimmungen führen, das VIII. Buch enthaltewirklich bestimmte Aufgaben über Kegelschnitte. Auch aus Pappuslässt eine solche Zusammengehörigkeit der beiden Bücher sich folgern.