339
indem man Leinwand oder Papier herumwickle, welches dann aus-gebreitet als Maass diene, uralten Ursprung verrathe, viel wird mitdiesem Bewusstsein nicht gewonnen sein. Dass wir aber den stereo-metrischen Aufgaben so wenig abgewinnen können, hat einen zwei-fachen Grund. Bald steht ungenügende Verständniss, welche Körpereigentlich gemeint seien, hindernd im Weg, bald die Tliatsache, dassrecht viele Bechnungsergebnisse, auch wo sie verständlich sind, sichals falsch erweisen. Der Diorismus, ob eine Aufgabe wie die ge-stellte überhaupt möglich sei, ist nicht selten versäumt. So ist z. B.eine abgestumpfte Pyramide mit rechteckiger Grundfläche zur Aus-rechnung vorgelegt, 1 ) deren untere Fläche aus den Seiten 14 und 20,die obere aus den Seiten 2 und 4 gebildet wild, während dieserKörper bei mangelnder Aehnlichkeit der beiden Flächen gar nichtals Pyramidenstumpf aufgefasst werden kann.
Unmittelbar vor dieser Stelle ist eine andere, 2 ) bei welcher dermangelnde Diorismus zum erstmaligen Erscheinen einer Quadrat-wurzel aus einer negativen Zahl geführt hat, welches in derGeschichte der Mathematik hat nachgewiesen werden können. DerKörperinhalt I einer abgestumpften Pyramide von quadratischerGrundfläche wird gesucht. Nennt man nun a l die Seite desunteren grösseren, a 2 die Seite des oberen kleineren Quadrates,k die Kante des Pyramidenstumpifes, II dessen senkrechte Höhe,h die Höhe einer der parallelotrapezischen Seitenflächen 2 so ist
offenbar h = j/k 2 — ( a ‘ ) , II = ^ h 2 — ( ^ )* oder auch
II = j/ k 2 — * («i — a 2 )* und endlich 1= II. £(“' - 2 ) +|(—j J.
Eine Ableitung dieser Formel findet so wenig statt wie die irgendeiner anderen (mit Ausnahme der in der Abhandlung über dieDioptra bewiesenen heronischen Dreiecksformel), aber sie wird ineinem ersten Beispiele, in welchem n, = 10, a. 2 = 2, k = 9 ge-wählt ist, mit gutem Erfolge angewandt. Es erscheint nämlich
II = j /92 _ i (io — 2) 2 =7 und daraus /=*= 7 + [ (-°7 2 /]
= 289-p Der Grund der Brauchbarkeit liegt darin, dass, wie es
ans der Formel für II hervorgeht, / ~ (a, — a 2 ) 2 sein muss und bei
den angewandten Zahlenwerthen auch ist. Geometrisch heisst das:ein Pyramidenstumpf mit quadratischen Grundflächen existirt nur dann,wenn bei senkrechter Projicirung der oberen Fläche auf die unterezwischen zwei benachbarten Eckpunkten der ursprünglich unteren
') Heron, Stereometrie» I, 35 (cd. Hultsch) pag. 1C3. J ) Heron, Stereo-metrica I, 33 und 34 (ed. Ilultsch) pag. 162 — 103.
22 *