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Kapitel XIX.

genau richtig, sondern nur angenähert berechnet sind, und dass dieEinsetzung eines NiiherungswertheS in eine zweite Näherungsformelnicht immer zu den gleichen Ergebnissen führt, wenn sie in einemfrüheren oder in einem späteren Augenblicke erfolgt. Jedenfalls

weicht c s = y = 4,833 333 von dem wahren YVerthe c s = 4,828 427

weniger ab als c„ = = 4,800 000.

Die beiden richtigen Behauptungen über das Achteck lassen nuneine Ableitung mit Hilfe einer und derselben Figur zu, welche einEinwohner Aegyptens oft zu sehen in der Lage war, und derenAnblick einen Mathematiker umgekehrt auf die Erfindung jenerbeiden Sätze bringen konnte. Die Figur, welche wir meinen, ist die(Figur 8) zweier einander symmetrisch durchsetzender Quadrate, ein,wie wir uns erinnern (S. 58), häufiges Gewebemuster. Dass dieSchnittpunkte dieser Quadratseiten ein regelmässiges Achteck in derFigur erscheinen lassen ist augenscheinlich. Eines Beweises bedarf(Figur GO) nur die Behauptung aß = ßy und

ferner die zwischen ay = ^ und yd = ** aufge-stellte Gleichung. Der Achteck winke] bei y ist135°, dessen Hälfte uyß mithin 67* °- Ferner

ist der Winkel aßy die Hälfte eines rechtenWinkels oder 45°, und demnach yaß = 180°

— G7' 0 — 45° = 67 * 0 = ayß, folglich aß — ßy.Zweitens ist ay 2 = a ä 2 -)- y d’. Dabei istad=ßd = /3£-|-£d = /j£-Fydund ß £ 2 = ßt 2 + fQ 2 = 2£F 2 = 2 yd 2 , mithin ay 2 = (f/2yd 2 -j- y d) 2+ yd 2 , was zu beweisen war. Wir werden im 26. Kapitel nochdeutlicher erkennen, dass in der Tliat ein dem hier gegebenen Beweisesehr ähnlicher von unserer Figur ausgehender Gedankengang zu denbeiden heroniscken Sätzen vom Achtecke geführt haben muss. Wennwir heronische Sätze sagen, so meinen wir begreiflicherweise solche,die uns am Frühsten bei Heron begegnen, ohne Herons Erfindungfür die möglicherweise noch älteren Wahrheiten ausdrücklich in An-spruch zu nehmen.

Haben wir hier eine, wie sich herausstellte, wichtige Zwischen-bemerkung aus der zweiten stereometrischen Sammlung in Betrachtziehen dürfen, so liefern uns die eigentlich stereometrisehen Angabenals solche im Allgemeinen wenig Ausbeute. Es mag ja immerhinsein, dass eine Vorschrift, welche in den Ausmessungen sich findet, 1 )eine nicht regelmässige Oberfläche, etwa die einer Bildsäule zu messen,

Fig. 60.

) Heron, Mensurae 46 (ed. Hultscli) pag. 204.