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ziehen. Aber dass er nicht auf n = zu Gunsten von n — ~
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verzichten sollte, dafür gab es gar keinen Grund.
Eine Stelle^ welche auf den Kreis sich bezieht, verdient aus mehr-fachen Gründen eine nähere Besprechung. Es ist dieselbe Stelle,welcher wir (S. 330) im Voraus unsere Aufmerksamkeit zusicherten,als wir von der zweiten Ausgabe der Geometrie Herons sprachen, 1 )Es handelt sich um Berechnung des Kreisdurchmessers d aus derSumme S der in einer Zahl vereinigten Kreisfläche K, Peripherie /'und Durchmesser d selbst. Die Thatsaehe der durch S angedeutetenSummenbildung ist an sich eine höchst merkwürdige. Eine Flächen-grösse und zwei Längenausdehnungen zu vereinigen widerspricht demgeometrischen Bewusstsein und ist nur denkbar, wenn wir zugeben,dass Heron hier auf durchaus algebraischem Boden stand, dassihm die Zahlemverthe als solche und ohne Kiicksicht auf ihren geo-metrischen Ursprung dienten. Unter dieser Voraussetzung gestattetaber Herons Rechnuugsergebniss sein Verfahren rückwärts zu er-gänzen. Er rechnet d = V 1 0 * $ d ~ 841 ~ 29 - Bekannlich ist K — ^ d 2 ,
P=:td, folglich ist S = K + r + d = * d 2 + (* + 1) d, und er-setzt man n hierin durch , so ist die nach d quadratische Gleichung
11 . 29 , q
n d ' + y d = 8
der Auflösung unterbreitet. Nun sind von vorn herein zwei Wegezur Auflösung vorhanden. Entweder man dividirt die Gleichung
durch j* um eine neue Gleichung zu erhalten, in welcher das quadra-tische Glied den Coefficienten 1 besitzt, oder man vervielfacht dieGleichung mit einer derartigen ganzen Zahl, dass im Produkte dasquadratische Glied einen ganzzahligen quadratischen Coefficienten be-sitze, während auch im Uebrigen nur ganzzahlige Coefficienten auf-treten. Den letzteren Weg wird vorziehen, wer das Rechnen mitBrüchen so lange als möglich hinausschiebt. Befolgen wir ihn, sohaben wir mit 14 mal 11 zu vervielfachen und erhalten 121 d 2 -(-638 d = 154 S, daraus ferner 121 d 2 -f- 638 d -f- 841 = 154 S -f- 841oder (11 d -j- 29) 2 = 154 S + 841. Daraus entsteht der Reihe nach11 d + 29 = y 154 S -f- 841, 11 d = j/Töi S+ - 84i — 29, endlich
mit Heron d = ^ 154 ^ ~ 29 - Damit ist also der Beweis ge-
liefert, dass Heron die unreine quadratische Gleichung
’) Heron, Geometria 101, 7—9 (ed. Hultsch) pag. 133, lin. 10—23. Dasganze Kapitel 101 trägt in der ältesten und besten Handschrift den Titel:oqo s xvxXov evge&iis iv aXXm ßißXCm zov " Hqcovos.