Neupythagoräische Arithmetiken Nikomachus. 'i'heou. Thymaridas. 365

zifferten Horizontalzeile, die erste der ersten, die zweite der zwei-ten, die zehnte der zehnten. Wir halten uns bei dieser Beschreibungetwas länger auf, weil die Benutzbarkeit der Tafel als Einmaleins-tabelle einleuchtet. Das Produkt zweier einziffriger Zahlen stehtan der Kreuzungsstelle der durch die beiden Faktoren beziffertenZeile und Kolumne. Ausserdem stehen zwei Zahlen derselbenKolumne je in dem gleichen Verhältnisse wie die ihre Zeile er-öffnenden Zahlen. Alle diese verschiedenen Verhältnisse lassen sichaber aus einer Terne von Einheiten durch eine gewisse Reihenfolge vonVerbindungen liervoibringen, welche symbolisch geschrieben darauf hin- 4 23auslaufen, dass aus den drei Zahlen a,b, c die drei neuen Zahlen ^ u Ca, a -j- b, a + 2b -(- c gebildet werden sollen. Der Reihe nach erhält man:

i, 1, 1

1, 2, 4 oder die Verdoppelungen,

1, 3, 9 oder die Verdreifachungen,

1, 4, 16 oder die Vervierfachungen, u. s. w.

Schreibt man eine dieser Reihen z. B. die der Verdoppelungenrückläufig 4, 2, 1 d. h. benutzt man bei gleichem Bildungesetzewie oben a — 4, b = 2, c = 1, so entsteht als neue Reihe4, 6, 9 oder die Verandertlialbfachungen u. s. w.

Im zweiten Buche ist die Lehre von den figurirten Zahlen und daransich anschliessend die von den Proportionen enthalten. Die figurirtenZahlen erscheinen als vieleckige und als körperliche Zahlen. Dievieleckigen Zahlen sind solche, welche durch einzelne Punkte dar-gestellt ein regelmässiges Vieleck zu bilden im Stande sind. Vieleckeauf einander gehäuft bilden einen Körper, und so wird der Sinn derkörperlichen Zahl erkennbar, die freilich zunächst Nichts mit demProdukte dreier Faktoren gemein hat, welches Platon als Körperzahlbezeichnet, wenn auch Nikomachus in zweiter Linie auf diese Begriffs-bestimmung zurückkommt. Aehnlich geht es schon vorher mit derFlächenzahl, welche für Nikomachus nicht wie für Platon ein Produktzweier Faktoren bedeutet, während nachträglich diese Bedeutungdoch eingeführt wird. Jede vieleekige Zahl ist bei Nikomachus, wiebei Hypsikles, Summe einer mit 1 beginnenden arithmetischen Reihe,deren Differenz stets um 2 kleiner ist als die Eckenzahl, und dieseerzeugende arithmetische Reihe heisst auch die Reihe der Gnomonender betreffenden Vieleckszahlen, weil jede neu hinzutretende Gnomon-zahl die Vieleckszahl nur in die nächsthöhere ähnlicher Art ver-wandelt. Eine beliebige weckszahl mit der an Rang um 1 niedrigerenDreieckszahl vereinigt gibt stets die n -(- 1 eckszahl gleichen Ranges.

So ist z. B. die vierte Sechseckszahl 28, die dritte Dreieckszahl 6,deren Summe 28 -f- 6 = 34 wird die vierte Siebeneckszahl sein. —

Die Summe auf einander folgender ungrader Zahlen von der 1 an

4 0Zoio

Joa