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Kapitel XXI.

musste stets an diese Thatsache anknüpfen'), eine Thatsache freilich,deren nähere Besprechung durchaus der Geschichte der Philosophieund der Theologie angehört, welche mit dem Ursprünge und der Ent-wicklung des Trinitiitsbegriffes sich abzufinden haben. Nach dieserVorbemerkung berichten wir in aller Kürze über die Einleitung indie Arithmetik. 2 ) Unsere Leser werden, auch ohne dass wir siebesonders aufmerksam machen, ohne Zweifel Vieles erkennen, waswir in früheren Kapiteln dem Werke des Nikomachus entlehnten,um es für Pythagoras und seine Schule bis auf Platon und dessennächste Nachfolger in Anspruch zu nehmen.

Die Zahlen sind nach Nikomachus grade und ungrade, jedeselbst von drei verschiedenen Gattungen. Die graden Zahlen sindnämlich 1. grademalgrad, agrictxig uqtlol, d. h. führen durch fort-währende Halbirung auf die Einheit zurück; oder sie sind 2. grade-ungrad, dg-noTttgiTTOi , d. h. führen durch einmalige Halbirung aufeine ungrade Zahl; oder sie sind 3. ungradegrade, nsgiöödgTiOL, d. h.führen durch mehrmals fortgesetzte Halbirung auf eine ungrade-Zahl.Die uugraden Zahlen sind 1. unzusammengesetzte Primzahlen,2. zusammengesetzte Sekundärzahlen, 3. unter sich tlieilerfremdeZahlen. Unter den graden Zahlen wird eine neue Gruppirung in1. vollkommene, 2. überschiessende, 3. mangelhafte Zahlen vorgenom-men. Von zwei gemeinsam betrachteten Zahlen ist die Grössere ent-weder ein Vielfaches der Kleineren, die alsdann selbst Untervielfachesder Grösseren ist, oder nicht. Im letzteren Falle werden die Namenangegeben, welche jedesmal der Grösseren, beziehungsweise der Kleinerengegenüber von der andern beigelegt werden, Namen, die jedes be-liebige Verhältniss ausdrücken können, die aber ganz besonderespäter auch in die lateinische Sprache übergegangene Formen erhal-ten, wenn das Verhältniss wie 1 zu »4- V, oder wie lzuw-4- ,

1 ' m + 1 1 m + 1

ist, wo n sowohl als m ganze Zahlen bedeuten, die mindestens derEinheit gleich sind. Um die Sache recht klar zu machen bedientsich Nikomachus einer schachbrettartig aus 100 Feldern bestehendenTafel. 3 ) Die erste Horizoutalzeile enthält einfach die Zahlen 1 bis 10*die zweite die Doppelten derselben, 2, 4 bis 20, die dritte die Drei-fachen, 3, 6 bis 30 und sofort; endlich die zehnte Horizontalzeile ent-hält die Zehnfachen jener Zahlen oder 10, 20 bis 100. Sieht mandie Tafel als aus zehn Vertikalkolumneu bestehend an, so gleicht jedeVertikalkolumne ganz genau und Zahl für Zahl der entsprechend be-

‘) So Nesselmann, Algebra der Griechen S. 195: „Nikomachus hätte sicher-lich diesen Fehler nicht begangen, wenn er nicht der Analogie wegen durchausdrei Theile hätte herausbringen wollen.“ s ) Ein ausführlicher Auszug beiNesselmann 1. c. S. 191—216. •’) h'icomachi, Introductio etc. (ed. Hoche)

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