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Kapitel XXXV.

freiliegenden Seiten BE, DB des letzteren Quadrates werdenbis zum Durchschnitte mit den Seiten des Quadrates über derSumme A C = c, + c 2 verlängert. Aus dieser Construction gehtdie Zerfällung des grossen »Quadrates in folgende 4 Theile her-vor: AE (das Quadrat von c,), EH (das Quadrat von c 2 ) und CEsowie ZE (die beiden Rechtecke zwischen c, und e 2 ). Ist nun2c, c 2 = k, so folgt wegen c { c 2 — h, dass (c, + c 2 ) 2 = h 2 -\-k sei.Aber auch h 2 — k ist ein Quadrat. Schneidet man nämlich von Bgegen A hin und von D ebenfalls gegen A hin Stücke BT = DK ~c tab, so ist das Quadrat AE zerlegt in das Quadrat KT und diebeiden Rechtecke DM, BL, von welchen das Quadrat EM abzu-ziehen ist. Mit anderen Worten es zeigt sich A R -f- L M — 2 B Ij — K Toder c^ -f- c, — 2c, c 2 = (c, — c,) 2 oder (c, — c. t ) 2 = (c\ + c \) — 2c, c 2= h 2 — k und man findet also Zahlen, welche die verlangte Eigen-schaft besitzen in den Quadraten der Summe der beiden Katheten,der Hypotenuse und der Differenz der beiden Katheten eines recht-winkligen Dreiecks, während das doppelte Produkt der beidenKatheten die Zahl ist, um welche das erstere Quadrat grösser, dasletztere kleiner als das mittlere ist. Entsprechend heisst es beiDiophant : ,,In jedem rechtwinkligen Dreieck bleibt aber das Quadratder Hypotenuse auch dann noch ein Quadrat, wenn man das doppelteProdukt der Katheten davon abzieht oder dazu addirt.“ 1 ) Nun gibtes Methoden aus zwei beliebigen Zahlen a und b ein rationales recht-winkliges Dreieck entstehen zu lassen, und solche Methoden werdenin der anonymen Abhandlung, werden von Ibn Alhusain gelehrt;

a + b ab , a 2 -f 6* 0 , , ' .

z. d. c, — ——, c 2 = a _ b , h — Setzt man diese Werthe

• 17 ci (ct 4 “ b) ab , /fl 4 - bi ab \Z f" a 2 b 2 j 2

’ 12 a — b \ 2 — a — bJ La(a-6)J

+ oc l er indem alle Seiten mit 2 (a — b) vervielfacht werden

c, = a 2 — b 2 , c 2 = 2 ab, h = a 2 -j- b 2 und die beiden ganzzahligenEndgleichungen (er — b 2 -j- 2ab) 2 = (a 2 -)- b 2 ) 2 +4 ab (a 2 — b 2 )nebst ( a 2 - b 2 - 2 ab) 2 = {a 2 -f b 2 ) 2 — 4 ab (a 2 — b 2 ). Beide Ab-handlungen stimmen noch in einer weiteren Beziehung überein. Sieenthalten Zahlentabellen, gebildet in Folge von Versuchen — freilichvon auf eine theoretische Betrachtung gestützten Versuchen — welcheder zunächst in Behandlung tretenden Aufgabe rationale rechtwinkligeDreiecke zu finden genügen. In keinem der bisherigen Abschnittedieses Bandes haben wir das Vorhandensein genau solcher Tabellenerwähnen können, wenn wir auch auf manche eine Vergleichunggestattende Dinge stiessen. Vergleichen lässt sich schon die alt-

') Diophant (Schulz) III, 22, S. 134 und fast gleichlautend V, 9, S. 226.