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Kapitel XXXVII.

zahlen angegeben. 1 ) Bei Gelegenheit der Subtraktion kommt derRest zur Rede, welcher entsteht wenn von irgend einer Zahl 9, 8oder 7 so oft als möglich abgezogen wird. 2 ) Die Auffindung dieserReste, welche alsdann als Proben bei Rechnungen angewandt werden,wie wir es von der Neunerprobe der Inder schon wissen, beruht beider 9 auf dem Satze 10" r - 1 (mod 9), bei der 8 auf den dreiSätzen 10 1 2, 10 2 — 4, IO 3 — Ö (mod 8). Somit ist der Rest einerZahl nach 9 ihrer Ziff'ernsumme gleich, der Rest nach 8 der Einer-ziffer nebst dem Doppelten der Zehnerziffer noch vermehrt durch dasVierfache der Ilunderterzift’er. Umständlicher ist das Verfahren denRest nach 7 zu finden. Ihn Albannä begründet es mit den Sätzen,welche nach moderner Schreibweise 10’ rr 3, 10'- 2, 10 3 0,

10' 4, 10 5 = 5, 10° 1 (mod 7) heissen und setzt hinzu „von

da an beginnt die Reihenfolge aufs Neue.“ Man hat also von derRechten zur Linken fortschreitend unter die einzelnen Ziffern der zuprüfenden Zahl der Reihe nach 1, 8, 2, (!, 4, 5 sich stets wieder-holend niederzuschreiben, die betreffenden Ziffern mit diesen Werthenzu multipliciren und die Summe dieser Produkte zu bilden, welchedann selbst wieder nach 7 zu prüfen ist. Die Zahlen 1, 3, 2, 0, 4, 5besser zu behalten ersetzt man sie durch die gleichwertigen Buch-staben des älteren arabischen Alphabetes, welche durch Einschiehungvon Vokalen zu zwei nicht ganz richtig geschriebenen Wörtern sichverbinden lassen, deren Bedeutung etwa die eines ein Aufzubewahren-des bergenden Grabens ist.

Bei der Quadratwurzelausziehung unterscheidet Ibn Albannäzwei Fälle, 3 ) ob nämlich, nachdem )/«’ -f- r a gefunden ist, derRest sich als kleiner beziehungsweise als gleich, oder aber alsgrösser als der schon gefundene Wurzeltheil erweist. Ist r < a

so soll man j/a' 2 -j- r — a * a , dagegen bei r ) a lieber }/a? -f- r

= a + 9n - r _^ setzen. Wir erinnern daran, dass Alkarchi (S. 659)

der letzteren Formel sich bedienthat, ohne auf das Grössenverhältnisszwischen a und r Rücksicht zunehmen. Die Methode des doppeltenfalschen Ansatzes lehrt Ibn Albannäals das Verfahren mit Hilfeder Wagschalen und sagt, es be-ruhe auf Geometrie. 4 ) Er zeichneteine Figur (Figur 104), welche beieinem Commentator die etwas ab-weichende Gestalt (Figur 105) besitzt, und welche die eigenthümliche

*) Talkhyspag.5-6. J )Ebendapag.9. 8 )Ebendapag.2:5. 4 ) Ebenda pag. 26—27.

Fig. 104.

Fig. 105.