Abacisten und Algorithmiker.

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müssen verwandt, aber um so gewisser scheint es uns, dass nur einrömisch gebildeter Rechner sicli ihrer bedienen konnte. Darin be-irrt uns auch der Umstand nicht, dass die complementäre Divisionhei unserem Verfasser nicht Eingang gefunden hat. Wohl fandsolchen, wie schon (8. 774) augekündigt, ein Rechenbeispiel Ger-lands. Gerland stellt die Aufgabe unter 11 Krämer die Summe vonIDO Mark zu vertheilen 1 ) und findet als Quotient 9 nebst Eruchtheilen,die in den bekannten duodecimalen Untereinheiten ausgesprochenwerden. Unser Algorithmiker hat die Division von 100 Librae durch11 vollzogen und jeder Theilhaber ist ihm ein Krämer, institor . 2 )Die eine bei der Division übrig bleibende libra verwandelt er nunfreilich nicht in Zwölftel, sondern er setzt sie gleich 40 Solidi. Derweitere Rest von 7 solidi wird in nnmmi verwandelt, deren 12 einensolulns ausmachen. Wieder bleiben bei der Division 7 nnmmi übrig,und für diese solle man Eier kaufen, deren die Krämer bei der Mahl-zeit sich erfreuen werden. Für jeden nummus erhält man 10 Eier,im Ganzen also 91, und theilt man auch diese wieder durch 11, sobleibt abermals ein Rest von 3 Eiern. Die soll man dem zum Lohnegeben, der die Theilung vollzogen hat, oder sie gegen Salz Um-tauschen, welches vermuthlich zu den Eiern gegessen werden soll.

Andere Algorithmiker aus der Zeit, welche wir hier besprechen,also bis etwa zum Jahre 1200, sind gewiss noch mannigfaltig inhandschriftlichen Texten vorhanden, aber im Drucke nicht veröffent-licht worden. Spätere Schriften der gleichen Natur müssen wir zurBehandlung uns aufbewahren, wenn wir das XIII. S. zu schildernhaben werden, und mit noch späteren Perioden fällt erst die Erinne-rung an den Ursprung des Abacus zusammen, die z. B. in Bildwerkenaus dem Jahre 1500 etwa nachzuweisen wäre.

Wir schliessen hier unsere Darstellung zunächst ab. Das Jahr1200 ist für die Geschichte der europäischen Mathematik ein allzu-wichtiges, um nicht durch das Ende eines Bandes ihm auch äusser-licli die Bedeutung beizulegen, welche es verdient. Mit dem Jahre1200 ist das christliche Abendland im Besitze der Rechenkunst ausden verschiedensten Quellen, im Besitze der Null und des durch sieermöglichten vollen Stellenwerthes der Ziffern. Die Algebra als Lehrevon den Gleichungen erstell und zweiten Grades ist durch Gerhardvon Cremona zugänglich geworden. Die Geometrie des Euklid , dieAstronomie des Ptolemäus, Schriften des Tlieodosius, des Menelaussind in lateinischen Uebersetzungen vorhanden. Das Bewusstsein,wo weitere griechische Schriften erhaltbar sein müssen, die zum Vor-aus begründete Werthschätzung derselben macht sich mehr und mehr

’) Bulletino Boncompagni X, GOt: Siht XI institores et dividanturinter eos O marcae. *) Zeitsehr. Math. Phys. X, 7: Exemphim librarum U.