Rechenkunst und Algebra.

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oder es ist aus zwei Dreiecken in doppelter Art ein drittes gebildet. Stattzweier verschiedener Dreiecke kann man dasselbe Dreieck, etwa A, B, D,zweimal nehmen. 1 ) Das eine neue Dreieck heisst danuH 3 ,2 BD,B 2 — D 2 ,und es hat die Eigenschaft, dass sein einer spitzer Winkeldoppelt so gross ist, als ein spitzer Winkel des ursprüng-lichen Dreiecks. Vieta beweist diese Winkeleigenschaft nicht, erspricht sie nur aus; bei seiner uns aus der Auflösung der AufgabeVan Uoomens bekannten Gewandtheit, mit trigonometrischen Funk-tionen zu rechnen, kann aber nicht gezweifelt werden, dass seinGedaukengang etwa folgender war. Hiess im ursprünglichen Drei-ecke der eine spitze Winkel «, so war sin « = ^ , cos « —

2 b D

2 sin « . cos ci = sin 2 « = —tt- und also im neuen Dreiecke der

A‘

jgs_ jgt

Winkel 2« nachgewiesen, als dessen Cosinus — 2 - erscheint. An

diesem Gedankengange ist um so weniger zu zweifeln, als Vieta dereben erörterten Aufgabe als nächste die der Bildung des Dreiecksmit dreifachem Winkel 2 ) anschliesst. Durch Vervielfachung vonA 2 = B 2 D 2 mit ( A 2 ) 2 = (2 BB) 2 + (B 2 - D 2 ) 2 erhält er

(. A 3 ) 2 = (B 3 - 3 Bl) 2 ) 2 -f (3 B 2 D — 1 ) 3 ) 2

und

sin 3 « = sin a . cos 2 a -|- cos a . sin 2 cc

D B 2 — D 2 . B 2 B D SB'D — D*

~ 2 ‘ A 2 ' 2 ' “2^ — A 3 ’

was wirklich für den einen spitzen Winkel des neuen, dritten Dreieckszutrifft. Sogar zum allgemeinsten Falle erhebt sich Vieta 3 ) underkennt, dass die stets nach gleicher Vorschrift vorgenommene Bildungdes wten Dreiecks aus dem (n — l)ten und dem ersten einen spitzenWinkel na entstehen lässt. Mit anderen Worten: Vieta kanntedie Formeln, welche sinn« und cos na aus sin «und cos azusammensetzen, .nur dass er I) stait sin « und B statt cos «schrieb und die Hypotenuse des ersten Dreiecks A, die des nten DreiecksA n nannte. Die noch folgenden Sätze können, als von weitaus ge-ringerer Wichtigkeit, übergangen werden.

Auch 5 Bücher Zetetica, 4 ) von welchen ein Abdruck von 1593bekannt ist, müssen 1591 vorhanden gewesen sein. Man schildert sieam Zutreffendsten als eine Sammlung von Aufgaben, welche Diophantentlehnt oder nachgebildet sind. Als einzelnes Beispiel erwähnen wirdie 2. Aufgabe des V.- Buches, 5 ) welche drei in arithmetischer Pro-

’) Vieta pag. 36. A duobus triangulis rectangulis aequalibus et aequi-angulis tertium triangulum rectangulum constituere. ! ) Triangulum angulitripli. 3 ) Ebeuda pag. 37: Consectarium generale in diductionibus triangu-lorum rectangulorum. 4 ) Ebenda pag. 1 -—81. 5 ) Ebenda pag. 76: Invenire

numero tria quadrata aequo distantia intervallo.

Caxtob, Geschichte der Mathem. II.

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