Rechenkunst und Algebra.

583

lösung in anderer Form aus. Nicht um die Auffindung einer Unbe-kannten handelt es sich, sondern um Herstellung einer auseiner gegebenen Anzahl von Gliedern bestehenden geo-metrischen Progression. Aehnlich war die Fragestellung schonbei italienischen Schriftstellern gewesen (S. 447), Veranlassung konntejene mit einer arithmetischen Indexreihe verglichene Reihe der aufeinander folgenden Potenzen der Unbekannten gegeben haben, welcheuns wiederholt aufgefallen ist. Aber Vieta ging über seine Vorgängerweit hinaus. Die quadratische Gleichung leitet sich für ihn aus einerder drei stetigen Proportionen:

: (A + 2?)

A: Z = Z :{A — B)

■(B-A)

ab,') welche Z l als Produkt zweier Faktoren A (AB), A (A — B),A (B — A) darstellt. Im letzten der drei Fälle ist die gegebeneZahl B in zwei Theile zerlegt, deren jeder als die Unbekannte be-frachtet werden kann, und darin liegt der Grund der Zweideutigkeitsolcher Aufgaben. Die kubische Gleichung stammt aus einer geo-metrischen Reihe von vier Gliedern. 2 ) Ist B das gegebene erste,

A das unbekannte zweite "Glied, so wird ^ das dritte, das vierte

Glied, und kennt man nun noch Z als Summe des zweiten undvierten Gliedes, so entspricht die Aufgabe der kubischen GleichungA 3 — B-Z — B 2 A. Aehnlich wird auch dieGleichung A 3 — 3 B 2 A — B-1)einer viergliedrigen Reihe entnommen. Heisst diese Reihe a, ae,ae l ,ae 3und ist gegeben die Summe 1) und das Produkt B 1 der beiden äusserstenGlieder, so entspricht die Summe A der beiden inneren Glieder derebengenannten Gleichung. Hier ist die Uebereinstimmung mit denerst in Erinnerung gebrachten Italienern so gross, dass zur Gewissheitwird, *Vieta habe deren Schriften gekannt, was ohnedies durch Zeit-folge und Verkehrsverhältnisse schon fast ausser Zweifel gesetzt war.Grade diese Form der kubischen Gleichung bietet aber Veranlassung,einmal x 3 — 300 a; = 432 und dann 300 a; — x 3 = 432 ins Auge zufassen, 3 ) deren erste durch x = 18, die zweite durch x — 9 + j/57erfüllt wird. Vieta vereinigt nicht alle drei Auflösungen, indem erder Gleichung 300 a; — x 3 = 432 auch die Wursel x — — 18 zuspricht,•weil er hier wie anderwärts negative Wurzeln nicht anerkennt.

lin Uebrigen erscheint hier bei B > 1) der irreductible Fall,

und Vieta verweist für dessen Klarstellung ausdrücklich auf die Lehrevon der Winkeltheilung. 4 ) Damit ist die aus der Schrift über die

') Vieta pag. 85—86. s ) Ebenda pag. 86. 3 ) Ebenda pag. 91. 4 ) Atelegantius et praestantius ex analyticis angularium sectionum lmiusmodi aequa-litatcm eonstitutio eruitur.

38