Zahlentheorie. Algebra.

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von ihm ausgesprochener Satz: Girard weiss die Summen der4 ersten Potenzen der Wurzelwerthe einer Gleichung ausden Gleichuugscoefficienten herzustelleu. Er nennt beidieser Gelegenheit die Coefficienten nicht faction , sondern niesle undbezeichnet sie durch aufeinanderfolgende Initialen, ohne Rücksichtdarauf, dass ihm A sonst eine Unbekannte darstellt. Er kennt alsoA als premier mesle, B als second, C als troisiesmc, D als quatriesme^nämlich immer niesle' hinzugedacht). Dann schreibt er:

Alors entoute sorted’equation

A

0)

s

Solutions

Aq - IS2

55 m

quarez

A cub — AB 3 U 3

rt ^3

Cubes

A qq-AqB4-\-ACi-\-SSq2—D4

sera

quare-quavez

ln heutiger Schreibweise würde der Satz so aussehen.

Seien x i) x 2 , • ■

die Wurzeln der Gleichung

x n — c iyX ’ 1-1 -}- a.,x n ~- —

a 3 x n ~' 3 -f- (ijX’'— 4 — •

• • 4~ (ln = 0 i

so ist

Xx - a,, Zx- = a, 2 —

2a- 2 , Zx 3 = a, 3 — £

>a, a 2 -f- 3a 3 ,

-Ta; 4 = n, 4 — 4 aya., -f- 4a, a 3 + ~ ( h 2 — da 4 •

Den Werth anderer symmetrischer Funktionen der Gleichungswurzelngiebt Girard nicht an, er wird also solche vermuthlich nicht weitergekannt haben. Eine Bemerkung Girards über das Ausziehen derKubikwurzel aus der Summe einer rationalen Zahl und einer Quadrat-wurzel ist folgende. Essei|/a-f-j/Z>=a-f-j//3, so folgt daraus

3 __ 3 _

y a 2 — b = a 2 — ß und ebenso yb — d 2 = ß — « 2 , und darin be-steht Girards beweislos ausgesprochene Behauptung. Genau ebensobeweislos hatte (E. 409) Michael Stifel den allerdings nicht ganzso deutlich ausgesprochenen Zusammenhang als Zusatz zu der Rudoiff-schen Coss veröffentlicht, doch scheint Girard keine Kenntniss davonbesessen zu haben, weil er sonst kaum als Einleitung besonders be-tont hätte, Niemand habe die Kubikwurzelausziehung aus Binomien

g_

noch erfunden. 1 ) Die Regel, welche Girard aus ya l — b = a 2 — ßmit gleichzeitiger Berücksichtigung von a = a 3 Saß, also .von

a > a 3 , sich bildet, besteht darin: zuerst wird der Zahlenwerth y d 2 — bgesucht, dessen Rationalität allerdings vorausgesetzt ist; dann nimmtmau alle « > ]/a und bildet aus ihnen a 2 ; zieht man von jedem ci 2die Zahl yaß — b ab, so erscheint das zu jenem u 2 gehörige ß, und

’) L’extraction Cubicque des binomes n’estant encore inventee de personne, onse pourra servir de la reigle suyvante.