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Kapitel LXXVI.

wegen dieses Ausspruches vielfach gescholten worden. Eine Be-hauptung, warf man ihm vor, sei kein bewiesener Satz, und überdiessei die Behauptung nicht einmal wahr, da sie die Fälle imaginärerWurzeln unerörtert lasse. Beide Vorwürfe sind ungerecht. Der zweitescheitert an dem Worte possint, welches Descartes in vorsichtigsterWeise gebraucht. Die Gleichung kann, sagt er, so und so vielepositive, negative Wurzeln besitzen, und das ist buchstäblich wahr.Das enthält überdies auch mit eiugeschlossen, dass es höchstens sound so viele Wurzeln sein können, denn man wird doch Descartes’possint nicht so aufzufassen im Stande sein, dass der Wurzeln auchnoch mehrere sein können? Und der erste Vorwurf darf nicht Des-cartes, darf nur der Zeit gemacht werden. Beispiele unbewiesen aus-gesprochener Sätze werden dem Leser mehr begegnen, wenn er nurin diesem Abschnitte zurückb'lättert. Man hatte sich noch nicht ge-wöhnt, jede mathematische Behauptung, auch wo sie nur gelegentlichauftrat, sofort mit strengem Beweise zu versehen.

Noch weitere algebraische Sätze spricht Descartes eben so ge-legentlich, eben so ohne Beweis aus, 1 ) wenn man nicht Ausführungan einzelnen Beispielen als Beweis gelten lassen will. Besitzt eineGleichung keine Gleichungsconstante, so ist 0 eine ihrer Wurzeln,und der Grad der Gleichung kann mittels Division durch die Un-bekannte herabgesetzt werden. Man kann auch umgekehrt durchMultiplikation mit der Unbekannten die Gleichung im Grade erhöhen,worauf sie keine Gleichungsconstante mehr besitzt. Man kann dannweiter die Unbekannte als Summe einer neuen Unbekannten undeiner an sich beliebigen Zahl betrachten, um eine neue Gleichung miteiner Gleichungsconstanten zu erhalten, und man kann dabei jene be-liebige Zahl so bestimmen, dass ein absichtlich gewähltes Glied derneuen Gleichung den Coefficieuten 0 erhalte, d. h. fehle.

So entsteht aus a; 3 -)- ax- -|- bx -j-.c = 0 die neue Gleichungx* -f- ax 3 + bx' 2 -f- cx = 0, aus dieser durch x = y + z die fernere«/ 4 -f- «j / 3 + ßy 7 + yy + ^ = o, und endlich durch planmässige Be-stimmung von s die Schlussgleiehuug y i -\-py 7J r<yy — r= 0. DerVortheil dieser Umwandlung, welche den Grad der Gleichung zwarerhöht, aber ihn zur geraden Zahl macht, besteht darin, 2 ) dassnunmehr eine Zerlegung in zwei Faktoren gleich hohenGrades angestrebt werden kann.

Umgekehrt ist freilich jene Zerlegung, welche als eine Methodewesentlicher Erniedrigung des Grades einer aufzulösenden Gleichungaufgefasst werden kann, nur dann möglich, wenn es gelingt, zuvoreine Hilfsgleichung aufzulösen. Für die Gleichung

reperiuntur signorum -f- et —; et tot falsas, qmt vicibus ibidem deprehendunturdm signa + vel duo signa —, qwae se inricem sequuntur.

') Descartes, Geom. I, 74—75. 2 ) Ebenda-I, 79sqq.