Zahlentheorie. Algebra. 725

in Holland ihm unter allen Umständen nicht unbekannt gebliebensein kann.

Noch weniger neu war es, dass das Gleichungspolynom als Pro-dukt binomer Faktoren ersten Grades zu denken sei, dagegen zogDescartes zwei neue wichtige Folgerungen, welche, so nahe sie unsjetzt zu liegen scheinen, noch nicht gezogen worden waren. Es wirdhervorgehoben, * 1 ) dass das Gleichungspolynom, summa aequationis,einer Gleichung, welche mehrere Wurzeln besitzt, stets durch einBinomium ersten Grades theilbar sei, welches aus der Unbekanntenminus einem positiven Wurzelwerthe oder plus einem negativenWurzelwerthe bestehe, und dass derartige Divisionen den Grad derGleichung um ebensoviele Einheiten herabsetzen. Es wird ferner zuwiederholten Malen hervorgehoben, 2 ) dass die Wurzelwerthe einerGleichung Theiler der Gleichungsconstanten sein müssen. Descartessagt zwar nicht, dass er Gleichungen mit ganzzahligen Coefticientenund eben solcher Constanten meint, und dass er dann auch nur anganzzahlige Theiler dieser letzteren denkt, aber die von ihm vor-geführten Beispiele dulden keine andere Auffassung. Besonders deut-lich ist die Erörterung der Gleichung y r> — 8y i — 124y 2 — 64 = 0.Das letzte Glied, nämlich 64, lasse sich ohne Bruch, sine fractione,durch 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 theilen. Man solle daher der Reihenach den Versuch machen, jene Gleichung durch eines der Binomey 2 — 1 oder y 2 -)- 1, y 2 — 2 oder y 2 -)- 2, y 2 — 4 oder y 2 -)- 4 u. s. w.zu dividieren; man werde finden, dass sie durch y 2 — 16 sich theilenlasse.

Weitaus am hervorragendsten ist freilich Descartes’Zeichen-regel. Wir haben (S. 496) gesehen, dass Cardano eine Behauptungaufstellte, welche aus seiner undeutlichen Ausdrucks weise heraus-geschält den Sinn besitzt, dass ein einmaliger Zeichenweehsel in einemGleichungspolynome das Merkmal einer einzigen positiven Wurzelsei, während bei zweimaligem Zeichenwechsel entweder mehrereWurzeln positiv oder alle imaginär seien. Es ist möglich, es istvielleicht wahrscheinlich, dass Descartes, dessen Reisen, auf welchener stets Kenntuisse zu sammeln bestrebt war, sich auch über Italien erstreckten, die Schriften Cardano's kennen lernte. Aber auch diesesals Thatsache vorausgesetzt, war jedenfalls Descartes der erste, welcherin dem erwähnten Cardano’schen Satze den Keim zu einer Verall-gemeinerung sah, welche er folgendermassen aussprach: So vieleZeichenwechsel, so viele Zeichenfolgen ein Gleichungs-polynom besitzt, so viele positive, so viele negativeWurzeln kann die Gleichung haben. 3 ) Descartes ist später

bbescarteSjGeom.I, 69— 70. *)EbendaI, 70 und deutlicherI, 77. 3 )Ebenda

I, 70: Ex quibus etiam cognoscitur quot verae et quot falsae radicesin unaquaque

Aequatione haben possint. . Nimirum tot veras haberi posse quot variationes

Cantor, Geschichte der Mathcm. II. 47