Infhiitesimalbetrachtungen. Kepler. Cavalieri.

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Ohne ausreichende Begründung wird a,=Z-(l — cosqp), rt 2 =Ä'(l-(- cosy),

mithin

gesetzt, so dass, wenn ein a gegeben ist, das

andere von selbst folgt und also mit Auffindung von a, der ganzenAufgabe Genüge geleistet ist; Maass der Stärke, fortitudinis, jenesWinkels qp sei aber dessen Sinus, und so ergebe sich das ganze a xals die Summe der Sinusse aller Winkel von 0 bis qp, und das ist doch

j sin qp . dtp

Zunächst nimmt Kepler qp = 90° und lässt die ein-

zelnen W'inkel gradweise zunehmen. Entnimmt man sin 1°, sin 2°,...sin 90° den Sinustafeln und bildet ihre Summe, so entsteht 1, be-ziehungsweise 1 — cos qp, oder, wie der Gewohnheit der Zeit ent-sprechend gesagt wurde, der Sinusversus von qp. Das Gleiche bewahr-heitet sich in einem anderen ähnlicher Rechnung unterworfenenSonderfalle, und daraus sehliesst Kepler auf die Richtigkeit der all-gemeinen Formel, ein Schluss, der sich, wie es in der Epitome von1618 heisst, 1 ) per numeros et anatomiam circuli, d. h. durch Zahlen-rechnung bei gleichmässiger Zunahme des Bogens rechtfertigt. ObKepler den Satz durch Herumtasten an Zahlenbeispielen entdeckte? Werkann das nachträglich ergründen! Unmöglich scheint bei Kepler keinederartige Vermuthung, da gerade in der Astronomia nova die Ellip-ticität der Marsbahn auf Grund zahlloser Rechnungen erschlossen ist.Als Kepler die Astronomia nova schrieb, hatte er, wie er an der er-wähnten Stelle seiner Epitome hinzufügt, Pappus noch nicht ge-lesen. Später beschäftigte er sich eifrig mit diesem Schriftsteller, aufden er, wie wir sahen, in der Doliometrie von 1615 sich berief. Ge-stützt auf Pappus V, 36, d. h. auf den Satz, dass die Oberflächenzweier durch unter einander parallelen Kreise begrenzter Kugelkalottenderselben Kugel sich wie deren Höhen verhalten, 2 ) entwarf Keplereinen anderen Beweis. Die Kräfte a, und a 2 denkt er sich nämlichals den Oberflächen der von der Anziehung, beziehungsweise der Ab-stossung beherrschten Kugelkalotten proportional, und bei der All-gemeingiltigkeit des Satzes von Pappus macht es nichts aus, wiegering der Unterschied von je zwei Kugelkalotten gewählt wird. Mankann die Kugeloberfläche in unendlich viele gleich breite Gürtel zer-legt denken, deren jeder gewissermassen als Kreis ohne jede Breiteerscheint. 3 ) Die Summation solcher unendlich vieler Verhältnisse ent-spricht dann der von ebensovielen Sinussen von Winkeln, die nichtdurch einzelne Winkelgrade, sondern in beliebig naher Aufeinander-folge wachsen, und deren Summe liefert nicht nur beinahe, fere,sondern ganz genau den Sinusversus. Das ist aber genau die Ver-

l ) Opera Kepleri IV, 407. ! ) Pappus (ed. Hultsch) I, 406. 3 ) Atqui

si sphaerica superficies intelligatur divisa in zonas infinitas aeque latas, eritquaelihet zona ut circv.lus aliquis latitudine carens.

Ca-N'TOR, Geschichte der Mathem. IX. 49