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Kapitel LXXVIII.

gemeint sind. Omnia quadrata paraUclogrammi ad omnia quadratacuiusvis triangulorum per diametrum constitutorum sunt in rationetripla, d. h. die betreffenden Gesamnitlieiten verhalten sich wie 3:1.Der Beweis, welchen Cavalieri giebt, stützt sich rückwärts auf all-zu viele vorhergehende Sätze, als dass es möglich wäre, ihn kurz zu-sammenzufassen. Dass der Satz wahr ist, lässt sich daraus entnehmen,dass, sofern a, b die beiden Seiten des Parallelogramms sind, die ge-nannten Gesammtheiten sich als

und als

a

./'

u

a

/

dx

kab 23

kb 2 dx = kab 2

Fig. 147.

darstellen, wo k von der Grösse der Winkel des Parallelogramms ab-hängt. Weiter wird alsdann gefolgert, 1 ') dass jeder Cylinder das Drei-fache des Kegels von gleicher Grundfläche und Höhe sei (Figur 147).

Die Diametralebene ACED zerschneidet die beidenKörper in dem Parallelogramme ACED und demDreiecke BEI), welche als Erzeugende der Körperbetrachtet werden können. Da das Dreieck mitdem Parallelogramme gleiche Grundlinie und Höhebesitzt, kann der 24. Satz auf diese Figuren aus-gedehnt werden. Parallelschnitte zum GrundkreiseDF EH schneiden Cylinder und Kegel in Kreisen,welche sich wie die Quadrate ihrer Durchmesserverhalten, d. h. wie die Quadrate eines Paares von Geraden desParallelogramms und des Dreiecks. Die Körper verhalten sich alsowie die Gesammtheiten dieser Quadrate, und das ist wie 3 : 1.

Wir wollen nicht länger bei dem II. Buche verweilen, vielmehrnoch Weniges aus anderen Büchern berichten. Der 11. Satz desIII. Buches 5 ) beschäftigt sich mit der Quadratur der Ellipse. Ist 2aderen grosse, 2 b deren kleine Axe und konstruiert man mit letztererals Durchmesser den eingeschriebenen Kreis, überdies das der Ellipseumschriebene Rechteck und das dem Kreis umschriebene Quadrat, soist vorhergegangenen Sätzen leicht zu entnehmen, dass die Ellipseund der Kreis sich wie jenes Rechteck und jenes Quadrat, diese sichwie die grosse und kleine Axe verhalten, dass also abn die Ellipsen-fläche darstellen muss. Des Weiteren sind im III. Buche jene Cm-drehungskörper von Kreisabschnitten auf ihren Rauminhalt geprüft,mit welchen Kepler sich theilweise mangelhaft beschäftigt hatte.Der 1. Satz des IV. Buches 3 ) (Figur 148) spricht aus, dass ein Parallelo-

*) Indivisibilien pag. 185.

2 ) Ebenda pag. 213, 3 ) Ebenda pag. 285—286.